Verificando um pico estatisticamente significativo

Eu tenho um conjunto de dados, e x . Eu gostaria de testar a seguinte hipótese: Há um pico em y ; isto é, x aumenta, y primeiro aumenta e depois diminui.$y$$x$$y$$x$$y$

Minha primeira ideia foi encaixar e x 2 em uma SLR. Ou seja, se eu achar que o coeficiente antes de x é significativamente positivo e o coeficiente antes de x 2 é significativamente negativo, então tenho suporte para a hipótese. No entanto, isso verifica apenas um tipo de relacionamento (quadrático) e pode não necessariamente capturar a existência do pico.$x$$x^2$$x$$x^2$

Então pensei em encontrar , uma região de (valores classificados de) x , que b esteja entre a e c , duas outras regiões de x que contenham pelo menos tantos pontos quanto b , e que ¯ y b > ¯ y a e ¯ y b > ¯ y c significativamente. Se a hipótese for verdadeira, devemos esperar muitas dessas regiões b . Assim, se o número de b for suficientemente grande, deve haver suporte para a hipótese.$b$$x$$b$$a$$c$$x$$b$$\bar{y_b}>\bar{y_a}$$\bar{y_b}>\bar{y_c}$$b$$b$

Você acha que estou no caminho certo para encontrar um teste adequado para minha hipótese? Ou estou inventando a roda e existe um método estabelecido para esse problema? Eu aprecio muito a sua opinião.

ATUALIZAR. Minha variável dependente $y$ é count (número inteiro não negativo).

Eu estava pensando na ideia de suavização também. Mas existe uma área inteira chamada metodologia de superfície de resposta que procura picos em dados barulhentos (envolve principalmente o uso de ajustes quadráticos locais nos dados) e houve um artigo famoso que me lembro com "Bump hunting" no título. Aqui estão alguns links para livros sobre a metodologia da superfície de resposta. Os livros de Ray Myer são particularmente bem escritos. Vou tentar encontrar o papel de caça inchaço.

Metodologia da superfície de resposta: otimização de processos e produtos usando experimentos projetados

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Embora não seja o artigo que eu estava procurando, aqui está um artigo muito relevante de Jerry Friedman e Nick Fisher que lida com essas idéias aplicadas a dados de alta dimensão.

Aqui está um artigo com alguns comentários online.

Então, espero que você pelo menos aprecie minha resposta. Acho que suas idéias são boas e no caminho certo, mas sim, acho que você pode estar reinventando a roda e espero que você e outras pessoas vejam essas excelentes referências.

Mesmo que você não tenha respondido à minha pergunta, se meu palpite estiver certo, você está procurando um teste de ruído branco, que equivale ao domínio da frequência para mostrar que o espectro é plano. Assim, o teste do periodograma de Fisher, que nesta referência é chamado Kappa de Fisher, poderia ser usado. Veja o link.

http://www4.stat.ncsu.edu/~dickey/Spain/pdf_Notes/Spectral2.pdf

O teste de Bartlett também é mencionado na referência. Agora, rejeitar a hipótese nula equivale a encontrar um pico significativo no periodograma. Isso significaria que existe um componente periódico na série temporal.

Como o teste está no domínio da frequência e envolve ordenadas de periodogramas, as ordenadas têm uma distribuição de qui-quadrado 2 sob a hipótese nula e são independentes. Essa distribuição especial ocorre apenas devido à transformação no domínio da frequência. Se x fosse tempo, isso não funcionaria no domínio do tempo ou, em geral, a distribuição para os ys não seria qui-quadrado independente.

Mas pegue o modelo y = constante independente de x. Use y m$_m$ , a média de ys como estimativa para a constante. Então, testar a existência de um pico equivaleria a rejeitar que os resíduos formam uma sequência de ruído branco.