Como faço para completar o quadrado com probabilidade normal e normal anterior?

Como concluo o quadrado a partir do ponto em que parei e isso está correto até agora?

Eu tenho um normal anterior para da forma p ( β | σ 2 ) ∼ N ( 0 , σ 2 V ) , para obter:$\beta$$p(\beta|\sigma^2)\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2V)$

$p(\beta|\sigma^2)=(2\pi\sigma^2V)^\frac{p}{2}\exp[-\frac{1}{2\sigma^2}\beta^T\beta]$

onde é p ∑ i = 1 β 2 i .$\beta^T\beta$$\sum\limits_{i=1}^p \beta_i^2$

Minha probabilidade tem uma distribuição normal para os pontos de dados y da forma $p(y|\beta,\sigma^2)\sim\mathcal{N}(B\beta,\sigma^2I)$

$p(y|\beta,\sigma^2)=(2\pi \sigma^2V)^\frac{n}{2}\exp[-\frac{1}{2\sigma^2}({\bf y}-{\bf B}{\bf \beta})^T({\bf y}-{\bf B}{\bf \beta})]$

(Observe que é uma matriz / vetor, \ bf não funciona.)$\beta$

Para obter meu posterior para , combinei o acima, peguei apenas as partes exponenciais e depois expandi para obter:$\beta$

.$\exp[-\frac{1}{2\sigma^2}({\bf y}^T{\bf y}-{\bf y}^T{\bf B}\beta-\beta{\bf B}^T{\bf y}-\beta^T{\bf B}^T{\bf B}\beta)]\exp[-\frac{1}{2\sigma^2}({\bf \beta}^T{\bf B})]$

Abandonei o termo , pois não é uma função de β .$({\bf y}^T{\bf y})$$\beta$

Colocando em uma expressão sem o exponencial:

.$-\frac{1}{2\sigma^2}(-{\bf y}^T{\bf B}\beta-\beta{\bf B}^T{\bf y}-\beta^T{\bf B}^T{\bf B}\beta+{\bf \beta}^T{\bf B})$

Eu sei que preciso combinar os termos semelhantes e entrar na forma da distribuição normal multivariada, que é o que pretendo, mas não tenho certeza de como fazer isso? Eu provavelmente tenho que adicionar um termo extra para a expressão para obtê-lo na forma correta?

Nota: Este não é um dever de casa, é um projeto, mas meu conhecimento de trabalho bayesiano não é bom e, portanto, preciso entender o que está acontecendo. Pretendo integrar o e o σ 2 depois de entrar na forma multivariada.$\beta$$\sigma^2$

$V$

$p(\beta)=\mathcal{N}( 0, \sigma^2 V )$$p(y | \beta ) = \mathcal{N}( B\beta, \sigma^2I )$

$\exp$$\beta$$\beta$

$\log p( \beta ) + \mbox{const} = -\frac{1}{2\sigma^2} \beta^T V^{-1} \beta$

$\log p( y | \beta ) + \mbox{const} = -\frac{1}{2\sigma^2}( \beta^T B^TB \beta - 2y^T B \beta ) \quad$$y^TB\beta = \beta^T B^T y$

Adicionados no espaço do log e a coleta de termos semelhantes gera o log não normalizado posteriormente

$\log p( \beta | y ) + \mbox{const} = -\frac{1}{2\sigma^2}( \beta^T(V^{-1} + B^TB)\beta - 2y^T B \beta )\quad$ (1)

$x^TAx + x^TCx = x^T(A+C)x$$x$$A,C$

$\beta$

$\log p( \beta | y ) + \mbox{const} = (\beta - \mu_p)^T \Lambda_p (\beta - \mu_p ) = \beta^T \Lambda_p \beta -2\mu_p^T \Lambda_p \beta + \mu_p^T \Lambda_p \mu_p$

$\mu_p, \Lambda_p$

Bem, por inspeção eqn. (1) se parece muito com este formulário se definirmos

$\Lambda_p = V^{-1} + B^TB \quad$ e $\quad \mu_p = \Lambda_p^{-1}B^Ty$

Em detalhes, podemos mostrar que essa substituição cria cada termo necessário a partir de (1):

$\beta^T \Lambda_p \beta = \beta^T( V^{-1} + B^TB)\beta$

$\mu_p^T \Lambda_p \beta = ( \Lambda_p^{-1}B^Ty )^T \Lambda_p \beta = y^T B \Lambda_p^{-1} \Lambda_p \beta = y^T B \beta$

$(AB)^T = B^T A^T$$(\Lambda_p^{-1})^T =\Lambda_p^{-1}$$\Lambda_p$

$\mu_p^T \Lambda_p \mu_p$$\mu_p, \Lambda_p$

$\log p( \beta | y ) + \mbox{const} = -\frac{1}{2\sigma^2}[ (\beta-\mu_p)^T\Lambda_p(\beta-\mu_p) - \mu_p\Lambda_p\mu_p ]$

$\beta$