Quais são algumas das distribuições sobre a probabilidade simplex?

Seja a probabilidade simplex da dimensão , ou seja, é tal que e .$\Delta_{K}$$K-1$$x \in \Delta_{K}$$x_i \ge 0$$\sum_i x_i = 1$

Quais distribuições que são frequentemente (ou conhecidas ou definidas no passado) sobre existem?$\Delta_{K}$

Claramente, existem as distribuições Dirichlet e Logit-Normal. Existem outras distribuições que surgem naturalmente neste contexto?

Isso é estudado na análise de dados composicionais, existe um livro de Aitchison: The Statistical Analysis Of Compositional Data .

Defina o simplex por

$$S^n =\{(x_1, \dots,x_{n+1}) \in {\mathbb R}^{n+1} \colon x_1>0,\dots, x_{n+1}>0, \sum_{i=1}^{n+1} x_i=1\}.$$ Observe que usamos o índice $n$ para indicar a dimensão! Defina a média geométrica de um elemento do simplex,$x$ como$\tilde{x}$ . Em seguida, podemos definir a transformação logrática (introduzida por Aitchison) como$x=(x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (\log(x_1/\tilde{x}), \dots, \log(x_n/\tilde{x})$ . está em${\mathbb R}^n$, portanto, tenho um inverso que deixo para você calcular (também existem outras versões dessa transformação que podem ser usadas, que talvez tenham melhores propriedades matemáticas, mais sobre isso posteriormente).

Agora você pode ter uma distribuição normal (ou qualquer outro) definido em ${\mathbb R}^n$ e usar essa transformação inversa para definir uma distribuição no simplex. As possibilidades são ilimitadas, para cada distribuição multivariada em ${\mathbb R}^n$ temos uma distribuição no simplex.

Eu aumentarei este post mais tarde com alguns exemplos e mais detalhes sobre transformações de proporção de log.