Estimador positivo e imparcial para o quadrado da média

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Suponha que tenhamos acesso a amostras de iid a partir de uma distribuição com média e variância verdadeira (desconhecida) e queremos estimar . $\mu, \sigma^2$ $\mu^2$

Como podemos construir um estimador imparcial e sempre positivo dessa quantidade?

Tomando o quadrado da amostra, a média é enviesada e superestima a quantidade, esp. se estiver próximo de 0 e for grande. $\tilde{\mu}^2$ $\mu$ $\sigma^2$

Esta é possivelmente uma pergunta trivial, mas minhas habilidades no Google estão me decepcionando, pois estimator of mean-squaredapenas retornamean-squarred-error estimators

Se isso facilitar as coisas, pode-se supor que a distribuição subjacente seja gaussiana.

Solução:

É possível construir uma estimativa imparcial de ; veja a resposta de knrumsey $\mu^2$
Não é possível construir uma estimativa sempre imparcial e positiva de pois esses requisitos estão em conflito quando a média verdadeira é 0; veja a resposta do Winks $\mu^2$

mean unbiased-estimator

— Winks
fonte

Talvez procure por estimador da média quadrada ou estimador do quadrado da média . Quando li o seu título, também fiquei confuso (como o Google), então editei para torná-lo mais intuitivo.

— Richard Hardy

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Observe que a média da amostra $\bar{X}$ também é normalmente distribuída, com média $\mu$ e variância $\sigma^2/n$ . Isso significa que

E ({\bar{X}}^{2}) = E (\bar{X})^{2} + Var (\bar{X}) = μ^{2} + \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname E(\bar{X}^2) = \operatorname E(\bar{X})^2 + \operatorname{Var}(\bar{X}) = \mu^2 + \frac{\sigma^2}n$

Se tudo o que lhe interessa é uma estimativa imparcial, você pode usar o fato de que a variação da amostra é imparcial para $\sigma^2$ . Isso implica que o estimador

\hat{μ^{2}} = {\bar{X}}^{2} - \frac{S^{2}}{n}

$\widehat{\mu^2} = \bar{X}^2 - \frac{S^2}n$ é imparcial para

μ^{2}

$\mu^2$ .

— Knrumsey
fonte

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\hat{μ^{2}}

$\hat{\mu^2}$

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(\bar{X}, S^{2})

$(\bar{X},S^2)$

@ Winks Essa é a própria razão pela qual este é um exemplo de um estimador imparcial e absurdo .

— precisa

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1} X_{2}

$X_1X_2$

E (X_{1} X_{2}) = E (X_{1}) E (X_{2}) = μ^{2}

$E(X_1 X_2) = E(X_1)E(X_2) = \mu^2$

μ

$\mu$

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$\mu^2$

Se a média verdadeira for 0, o estimador deve retornar 0 como esperado, mas não pode gerar números negativos; portanto, também não é permitido gerar números positivos, pois isso seria tendencioso. Um estimador imparcial e sempre positivo dessa quantidade deve, portanto, sempre retornar a resposta correta quando a média for 0, independentemente das amostras, o que parece impossível.

$\mu^2$

— Winks
fonte

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Há um artigo bastante antigo de Jim Berger estabelecendo esse fato, mas não consigo identificá-lo. O problema também aparece em Monte Carlo com estimadores debiasing como a Roleta Russa.

— Xian