Valor esperado do determinante logarítmico de uma matriz Wishart

Deixe $\Lambda \sim \mathcal W_D(\nu, \Psi)$ , isto é, distribuídas de acordo com uma $D \times D$ distribuição dimensional com Wishart significativo e graus de liberdade . Gostaria de uma expressão para queé o determinante. $\nu \Psi$ $\nu$ $E(\log |\Lambda|)$ $|\Lambda|$

Eu pesquisei um pouco na resposta para isso e obtive algumas informações conflitantes. Este documento afirma explicitamente que onde indica a função digamma ; o jornal não fornece uma fonte para esse fato, tanto quanto eu posso dizer. Essa também é a fórmula usada na página da Wikipedia para Wishart , que localiza o texto de reconhecimento de padrões do Bishop.

E (\log | Λ |) = D \log 2 + \log | Ψ | + \sum_{i = 1}^{D} ψ (\frac{ν - i + 1}{2})

$E(\log|\Lambda|) = D \log 2 + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

ψ (\cdot)

$\psi(\cdot)$

\frac{d}{d x} \log Γ (x)

$\frac d {dx} \log \Gamma(x)$

Por outro lado, o google apresentou essa discussão com um artigo vinculado que afirma que Eles concluem afirmando que que é derivado usando o fato de que . Eu verifiquei esse cálculo a partir de e parece bom, mas temos um extra .

ν^{D} \frac{| Λ |}{| Ψ |} \sim χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} . (†)

$\nu^D \frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger)$

E (registro | Λ |) = D registro 2 - D registro ν + registro | Ψ | + \sum_{Eu = 1}^{D} ψ (\frac{ν - Eu + 1}{2})

$E(\log | \Lambda|) = D \log 2 - D \log \nu + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

E (\log χ_{ν}^{2}) = \log (2) + ψ (ν / 2)

$E(\log \chi^2_\nu) = \log(2) + \psi(\nu /2)$

(†)

$(\dagger)$

- D \log ν

$-D\log\nu$

distributions wishart

— cara
fonte

Enquanto me preparava para postar isso, pude responder minha própria pergunta. De acordo com a etiqueta geral do StackExchange, decidi publicá-la de qualquer maneira, na esperança de que alguém que se depare com esse problema possa encontrar isso no futuro, possivelmente depois de encontrar os mesmos problemas com as fontes que eu fiz. Decidi responder imediatamente, para que ninguém perca tempo, já que a solução não é interessante.

$(\dagger)$ está errado, porque o artigo vinculado na discussão estava usando uma parametrização diferente do Wishart; isso não foi percebido pelos debatedores. O que realmente deveríamos ter é

\frac{| Λ |}{| Ψ |} \sim χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} . († †)

$\frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger\dagger)$ Após essa correção, as duas fórmulas levam à mesma resposta.

De qualquer forma, acho que acho $(\dagger\dagger)$ é um relacionamento interessante.

EDITAR:

Seguindo o conselho da probabilisticlogic, podemos escrever onde triangular inferior tem elementos fora da diagonal e elementos na diagonal. Tomar o determinante de ambos os lados dá imediatamente. $\Lambda \stackrel d = \Psi^{1/2} L L^T \Psi^{1/2}$ $L$ $N(0, 1)$ $\sqrt{\chi^2_{\nu - i + 1}}, (i = 1, ..., D)$ $(\dagger\dagger)$

— cara
fonte

Eu gosto mais da versão de Cholesky - você tem a raiz quadrada de qui-quadrado na diagonal e o padrão normal no triângulo inferior.

— probabilityislogic

@probabilityislogic Obrigado pela dica! Lembrar assim parece mais fácil e mais útil.

— cara

Ei, estou tentando derivar a expectativa do registro Wishart (declarado no livro de Bishop), que parece complicado, você encontrou alguma fonte para derivar o resultado?

— abacate