Soma limitante das variáveis gama iid

Seja uma sequência de variáveis aleatórias independentemente e identicamente distribuídas com a função de densidade de probabilidade; Mostre que $X_1,X_2,\ldots$

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{2} x^{2} e^{- x} & if x > 0; \\ 0 & otherwise . \end{cases}

$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}x^2 e^{-x} & \mbox{if $x>0$};\\ 0 & \mbox{otherwise}.\end{array} \right.$

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] \geq \frac{1}{2}

$\lim_{n\to \infty} P[X_1+X_2+\ldots+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] \ge \frac{1}{2}$

O que eu tentei

À primeira vista, eu pensei que deveria usar a desigualdade de Chebyshev, pois a pergunta está fazendo mostrar um limite inferior $X_1+X_2+\ldots +X_n$ . No entanto, pensei no sinal de limite que indica claramente que o problema pode estar de alguma forma relacionado ao Teorema Central do Limite (CLT)

Seja $S_n=X_1+X_2+\ldots +X_n$

E (S_{n}) = \sum_{i = 0}^{n} E (X_{i}) = 3 n (since E (X_{i}) = 3) V (S_{n}) = \sum_{i = 0}^{n} V (X_{i}) = 3 n (since V (X_{i}) = 3 and X_{i} are i.i.d)

$E(S_n)=\sum_{i=0}^{n} E(X_i)=3n \ (\text{since } E(X_i)=3) \\ V(S_n)=\sum_{i=0}^{n} V(X_i)=3n \ (\text{since } V(X_i)=3 \text{ and } X_i \text{ are i.i.d})$

Agora, usando CLT, para grande $n$ , $X_1+X_2+........+X_n \sim N(3n,3n)$
Ou

z = \frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \sim N (0, 1) as n \to \infty

$z=\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \sim N(0,1) \text{ as } n\to \infty$

Agora,

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = lim_{n \to \infty} P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} P (\frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \geq - \sqrt{3}) = P (z \geq - \sqrt{3}) = P (- \sqrt{3} \leq z < 0) + P (z \geq 0) = P (- \sqrt{3} \leq z < 0) + \frac{1}{2} \dots (1)

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] = \lim_\limits{n\to \infty}P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n}) = \lim_\limits{n\to \infty} P\left(\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \ge -\sqrt{3}\right) =P(z\ge -\sqrt{3}) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+P(z\ge 0 ) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+\frac{1}{2}\cdots(1)$

Como $P(-\sqrt{3}\le z<0) \ge 0$ , portanto, de $(1)$ ,

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] \geq \frac{1}{2}

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})]\ge \frac{1}{2}$

Estou correcto?

probability self-study

O CLT parece uma abordagem razoável, mas " "não faz sentido ..

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n})

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] =P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n})$

— P.Windridge 25/04/19

Eu acho que deveria ser

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = lim_{n \to \infty} P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} P (\frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \geq - \sqrt{3}) = P (z \geq - \sqrt{3})

Como alternativa, considere que iid e . A mediana de uma variável aleatória Gamma não é conhecida na forma fechada, mas é conhecido (cf. Wikipedia ) que, para grande , a mediana de uma variável aleatória fica entre e . Como , deve ser que pelo menos metade da massa de probabilidade esteja à direita de .

X_{i} \sim Γ (3, 1)

$X_i \sim\Gamma(3,1)$

X_{1} + X_{2} + \cdot + X_{n} \sim Γ (3 n, 1)

$X_1+X_2+\cdot+X_n \sim \Gamma(3n,1)$

n

$n$

Γ (3 n, 1)

$\Gamma(3n,1)$

3 n - \frac{1}{3}

$3n-\frac 13$

3 n

$3n$

3 (n - \sqrt{n}) < 3 n - \frac{1}{3}

$3(n-\sqrt{n}) < 3n-\frac 13$

3 (n - \sqrt{n})

$3(n-\sqrt{n})$

— precisa saber é o seguinte

Você estava certo de que a desigualdade de Chebyshev funcionaria. Ele fornece um limite um tanto grosseiro, mas eficaz, que se aplica a muitas dessas seqüências, revelando que a característica crucial dessa sequência é que a variação das somas parciais cresce no máximo linearmente com . $n$

Considere, então, o caso extremamente geral de qualquer sequência de variáveis não correlacionadas com médias e variações finitas Seja a soma do primeiro deles, $X_i$ $\mu_i$ $\sigma_i^2.$ $Y_n$ $n$

Y_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} .

$Y_n = \sum_{i=1}^n X_i.$

Consequentemente, a média de é $Y_n$

m_{n} = \sum_{i = 1}^{n} μ_{n}

$m_n = \sum_{i=1}^n \mu_n$

e sua variação é

s_{n}^{2} = Var (Y_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} Var (X_{i}) + 2 \sum_{j > i} Cov (X_{i}, X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} σ_{i}^{2} .

$s_n^2 = \operatorname{Var}(Y_n) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) + 2\sum_{j > i}\operatorname{Cov}(X_i,X_j) = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2.$

Suponha que cresça no máximo linearmente com : $s_n^2$ $n$ ou seja, existe um número tal que, para todos os suficientemente grandes Seja (ainda a ser determinado), observe que $\lambda\gt 0$ $n,$ $s_n^2 \le \lambda^2 n.$ $k\gt 0$

m - k \sqrt{n} \leq m - \frac{k}{λ} s_{n},

$m - k \sqrt{n} \le m - \frac{k}{\lambda}s_n,$

e aplique Desigualdade de Chebyshev a para obter $Y_n$

\begin{aligned} Pr (Y_{n} \geq m_{n} - k \sqrt{n}) & \geq Pr (Y_{n} \geq m_{n} - \frac{k}{λ} s_{n}) \\ \geq Pr (| Y_{n} - m_{n} | \leq \frac{k}{λ} s_{n}) \\ \geq 1 - \frac{λ^{2}}{k^{2}} . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Y_n \ge m_n - k\sqrt{n}) &\ge \Pr(Y_n \ge m_n - \frac{k}{\lambda}s_n) \\ &\ge \Pr(|Y_n - m_n| \le \frac{k}{\lambda} s_n) \\ &\ge 1 - \frac{\lambda^2}{k^2}. }$

As duas primeiras desigualdades são básicas: elas se seguem porque cada evento sucessivo é um subconjunto do anterior.

No caso em questão, onde são independentes (e, portanto, não correlacionados) com médias e variações temos e $X_i$ $\mu_i=3$ $\sigma_i^2=3,$ $m_n=3n$

s_{n} = \sqrt{3} \sqrt{n},

$s_n = \sqrt{3}\sqrt{n},$

onde podemos tomar tão pequeno quanto O evento na pergunta corresponde a em que $\lambda$ $\sqrt{3}.$ $3(n-\sqrt{n}) = \mu_n - 3\sqrt{n}$ $k=3,$

Pr (Y_{n} \geq 3 n - 3 \sqrt{n}) \geq 1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} = \frac{2}{3} > \frac{1}{2},

$\Pr(Y_n \ge 3n - 3\sqrt{n}) \ge 1 - \frac{\sqrt{3}^{\ 2}}{3^2} = \frac{2}{3}\gt \frac{1}{2},$

QED.

— whuber
fonte

Soma limitante das variáveis ​​gama iid

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