Você estava certo de que a desigualdade de Chebyshev funcionaria. Ele fornece um limite um tanto grosseiro, mas eficaz, que se aplica a muitas dessas seqüências, revelando que a característica crucial dessa sequência é que a variação das somas parciais cresce no máximo linearmente com .n
Considere, então, o caso extremamente geral de qualquer sequência de variáveis não correlacionadas com médias e variações finitas Seja a soma do primeiro deles,Xiμiσ2i.Ynn
Yn=∑i=1nXi.
Consequentemente, a média de éYn
mn=∑i=1nμn
e sua variação é
s2n=Var(Yn)=∑i=1nVar(Xi)+2∑j>iCov(Xi,Xj)=∑i=1nσ2i.
Suponha que cresça no máximo linearmente com :s2nn ou seja, existe um número tal que, para todos os suficientemente grandes Seja (ainda a ser determinado), observe queλ>0n, s2n≤λ2n.k>0
m−kn−−√≤m−kλsn,
e aplique Desigualdade de Chebyshev a para obterYn
Pr(Yn≥mn−kn−−√)≥Pr(Yn≥mn−kλsn)≥Pr(|Yn−mn|≤kλsn)≥1−λ2k2.
As duas primeiras desigualdades são básicas: elas se seguem porque cada evento sucessivo é um subconjunto do anterior.
No caso em questão, onde são independentes (e, portanto, não correlacionados) com médias e variações temos eXiμi=3σ2i=3,mn=3n
sn=3–√n−−√,
onde podemos tomar tão pequeno quanto O evento na pergunta corresponde a em queλ3–√.3(n−n−−√)=μn−3n−−√k=3,
Pr(Yn≥3n−3n−−√)≥1−3–√ 232=23>12,
QED.