Uma probabilidade posterior pode ser> 1?

Na fórmula de Bayes:

P (x | uma) = \frac{P (uma | x) P (x)}{P (uma)}

$P(x|a) = \frac{P(a|x) P(x)}{P(a)}$

a probabilidade posterior $P(x|a)$ pode exceder 1?

Eu acho que é possível se, por exemplo, supondo que $0 < P(a) < 1$ , e $P(a) < P(x) < 1$ , e $P(a)/P(x) < P(a|x) < 1$ . Mas não tenho certeza disso, porque o que significaria uma probabilidade maior que uma?

probability bayesian conditional-probability

— Thomas Moore
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Deve-se ser preciso na definição da notação. Não está claro o que

P (\cdot)

$P(\cdot)$ representa. Se

P (\cdot)

$P(\cdot)$ é (a) uma distribuição de probabilidade (caso em que

a

$a$ e

x

$x$ são conjuntos) ou (b) uma função de massa em um espaço discreto, em seguida, as respostas que você já tem são essencialmente correta. Se

P (\cdot)

$P(\cdot)$ é entendido como uma função de densidade, então não é verdade que

P (x ∣ a) \leq 1

$P(x \mid a) \le 1$ . A razão para nitpicking é que todos os três tipos de funções satisfazem a regra de Bayes. A notação

P (\cdot)

$P(\cdot)$ geralmente é para uma distribuição, mas usar caracteres minúsculos para argumentos sugere uma densidade.

— cara

P (x ∣ a) = \frac{P (x, a)}{P (a)} \leq \frac{P (a)}{P (a)} = 1

$P(x\mid a) = \frac{P(x,a) }{P(a)} \le \frac{P(a) }{P(a)} =1$ então a probabilidade posterior não pode exceder

1

$1$ . (A densidade posterior é uma questão diferente - muitas distribuições contínuas têm densidades superiores a

1

$1$ para alguns valores) #

— 9281 Henry

Se o posterior calculado exceder um, você cometeu um erro em algum lugar.

— Emil M Friedman

@EmilMFriedman, sua resposta é ambígua (e, por esse motivo, potencialmente prejudicial), porque não indica se se refere a uma probabilidade ou densidade

— whuber

A barreira da unidade em probabilidade pode e foi quebrada. Veja minha postagem em stats.stackexchange.com/questions/4220/… .

— Mark L. Stone

Respostas:

As condições assumidas não se sustentam - nunca pode ser verdade que pela definição de probabilidade condicional : $P(a)/P(x) < P(a|x)$

$P(a|x) = P(a\cap x) / P(x) \leq P(a) / P(x)$

— khol
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Não, não é possível que a probabilidade posterior exceda um. Isso seria uma violação do axioma normativo da teoria das probabilidades. Usando as regras de probabilidade condicional, você deve ter:

P (uma | x) = \frac{P (uma, x)}{P (x)} ⩽ \frac{P (uma)}{P (x)} .

$\mathbb{P}(a | x) = \frac{\mathbb{P}(a,x)}{\mathbb{P}(x)} \leqslant \frac{\mathbb{P}(a)}{\mathbb{P}(x)}.$

Isso significa que você não pode ter as condições de desigualdade especificadas. (Aliás, essa é uma boa pergunta: é bom que você esteja sondando as leis de probabilidade à procura de problemas. Isso mostra que você está explorando esses assuntos com maior grau de rigor do que a maioria dos estudantes.)

Um ponto adicional: vale a pena fazer um ponto adicional sobre essa situação, que é sobre a prioridade lógica de diferentes características de probabilidade. Lembre-se de que a teoria da probabilidade começa com um conjunto de axiomas que caracterizam o que realmente é uma medida de probabilidade. A partir desses axiomas, podemos derivar "regras de probabilidade", que são teoremas derivados dos axiomas. Essas regras de probabilidade devem ser consistentes com os axiomas para serem válidas. Se você alguma vez descobriu que uma regra de probabilidade leva a uma contradição com um dos axiomas (por exemplo, a probabilidade do espaço da amostra é maior que um), isso não falsificaria o axioma - falsificaria a regra da probabilidade . Portanto, mesmo que fosse o caso, a regra de Bayes poderialevar a uma probabilidade posterior maior que uma (não), isso não significa que você pode ter uma probabilidade posterior maior que uma; significaria simplesmente que a regra de Bayes não é uma regra válida de probabilidade.

— Restabelecer Monica
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O numerador final deve ser P (x)?

— BallpointBen

Ainda mostrando P (a) para mim

— BallpointBen

É suposto ser P (a) no numerador. A desigualdade está mostrando ao OP que ele não pode ter P (a | x)> P (a) / P (x), conforme especificado em sua pergunta.

— Reintegrar Monica

A fórmula de Bayes não pode dar valores parasuperiores a. Uma forma intuitiva de ver esta é para expressaratravés da lei da probabilidade total como dando que $\displaystyle P(B \mid A) = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)}$ $P(B\mid A)$ $1$ $P(A)$

P (UMA) = P (UMA ∣ B) P (B) + P (UMA ∣ B^{c}) P (B^{c})

$P(A) = P(A\mid B)P(B) + P(A\mid B^c)P(B^c)$

que mostra que o numerador é apenas um dos termos da soma no denominador e, portanto, a fração não pode exceder

em valor .

P (B ∣ UMA) = \frac{P (UMA ∣ B) P (B)}{P (UMA)} = \frac{P (UMA ∣ B) P (B)}{P (UMA ∣ B) P (B) + P (UMA ∣ B^{c}) P (B^{c})}

$P(B \mid A) = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)} = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A\mid B)P(B) + P(A\mid B^c)P(B^c)}$

1

$1$

— Dilip Sarwate
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+1 é a prova mais fácil para mim.

— Mehrdad

@Mehrdad Obrigado. As outras respostas provam essencialmente que uma probabilidade condicional

não pode exceder

pelo resultado de que

não pode exceder

porque

e, portanto, deve ser que

P (B ∣ A)

$P(B\mid A)$

1

$1$

P (A ∣ B) P (B) = P \A \cap B)

$P(A\mid B)P(B) = P\A\cap B)$

P (A)

$P(A)$

A \cap B \subset A

$A\cap B \subset A$

P \A \cap B) \leq P (A)

$P\A\cap B) \leq P(A)$ , e têm pouca relação per se com a fórmula de Bayes (como é usada em estatística para derivar probabilidades posteriores de probabilidades anteriores).

— Dilip Sarwate