Mostrando e são independentes: buscando uma solução para este problema de livro didático

Em Introdução aos modelos lineares generalizados de Dobson e Barnett, o exercício 1.4b & c é o seguinte:

Seja variáveis ​​aleatórias independentes, cada uma com a distribuição . Let e . ...$Y_1,...,Y_n$$N(\mu,\sigma^2)$$\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\overline{Y})^2$

b. Mostre que$S^2 = \frac{1}{n-1}[\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\mu)^2-n(\overline{Y}-\mu)^2]$

c. A partir de (b) segue-se que . Como isso permite deduzir que \ overline {Y} e S ^ 2 são independentes?$\sum(Y_i-\mu)^2/\sigma^2 = (n-1)S^2/\sigma^2+[(\overline{Y}-\mu)^2n/\sigma^2]$ $\overline{Y}$ $S^2$

Meu problema é que não vejo como a equação em c me permite responder à pergunta em negrito.

Estou ciente de como provar que os 2 são independentes em geral ( já foi perguntado antes ).

Além disso, quando olho para as soluções, eles dizem:

(c) e (d) seguem os resultados na p.10

Na página 10, a coisa mais próxima de usar é a propriedade reprodutiva da distribuição qui-quadrado, que não é uma declaração if e only if, portanto, acho que não pode ser usada aqui.

Então, minha pergunta é: como a equação em c) ajuda a provar a independência?

Não tenho certeza do que os autores têm em mente, mas a solução mais próxima que posso pensar em usar (c) é aplicar o teorema de Cochran . Você já cobriu isso, ou talvez um caso especial?

Aqui está a prova usando isso:

Seja para que e . Observe que Agora (c) nos diz que podemos escrever como e ambos são idempotentes, portanto o teorema de Cochran permite concluir que$Z_i = \frac{Y_i - \mu}{\sigma}$$Z_i \sim \mathcal N(0, 1)$$\bar Z \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n)$

$$\left(\frac{Y_i - \bar Y}{\sigma}\right)^2 = \left(\frac{Y_i - \mu}{\sigma} - \frac{\bar Y - \mu}{\sigma}\right)^2 = \left(Z_i - \bar Z\right)^2.$$ $$\sum_i Z_i^2 = \sum_i (Z_i - \bar Z)^2 + n\bar Z^2$$ $\newcommand{\one}{\mathbf 1}$ $$Z^T Z = Z^T \left(I - \frac 1n \one \one^T\right)Z + Z^T\left(\frac 1n \one \one^T\right) Z.$$ $I - \frac 1n \one \one^T + \frac 1n \one \one^T =I$$\sum_i (Y_i - \mu)^2 \perp n(\bar Y - \mu)^2$ e o resto segue.

$\square$

Seria isso o que eles estavam procurando?