As probabilidades são preservadas sob a transformação da função?

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Eu acho que isso é meio básico, mas digamos que eu tenho uma variável aleatória , a probabilidade a mesma que para qualquer função contínua com valor real ? $X$ $P(X \leq a)$ $P(f(X) \leq f(a))$ $f$

probability distributions

— Link L
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1

Também: Geralmente,

.

σ_{f (x)}^{2} \neq f (σ_{x}^{2})

$\sigma^{2}_{f(x)} \ne f\left(\sigma^{2}_{x}\right)$

— Alexis

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Isso vale apenas se estiver aumentando monotonicamente. Se é monotonicamente decrescente, então . Por exemplo, se , e X é um rolamento normal, então $f$ $f$ $P(f(X)\leq f(a)) = P(X \geq a)$ $f(x) = -x$ mas $P(X \leq 5) = \frac56$ . Sealternar entre aumentar e diminuir, é ainda mais complicado. $P(-X \leq -5) = \frac16$ $f$

Observe também o caso trivial de , no qual $f(x) \equiv 0$ $P(f(X) \leq a)$ é igual a 1 se e 0 em contrário. $a \geq 0$

— Acumulação
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2

+1 Eu deveria ter adicionado o caso injetivo quando isso for verdade.

— Stéphane Laurent

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Não. Pegue uniforme em e . Em seguida, . Por outro lado, . $X$ $[-1,1]$ $a=0$ $\Pr(X < a ) = 1/2$ $\Pr(X^2<a^2) = 0$

— Stéphane Laurent
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2

Isso está relacionado a perguntar:

$X \leq a$ $f(X) \leq f(a)$

$f(X) \leq f(a)$ $X \leq a$ $f$

— Sextus Empiricus
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