Distribuição binomial em que o número de experimentos é distribuído binomialmente

Na minha configuração,

tem $m$ ensaios.
Cada tentativa tem uma probabilidade $q$ de ser selecionado.
$N \leq m$ é o número de tentativas selecionadas

$\to N \sim Bin (q, m)$ $\rightarrow N \sim \text{Bin}(q, m)$
Para cada um dos $N$ ensaios selecionados, a probabilidade de sucesso é $p$
$K\leq N$ é o número de tentativas bem-sucedidas
$\to (K | N) \sim Bin (p, N)$ $\rightarrow (K|N) \sim \text{Bin}(p, N)$

Eu já derivou $E[K] = qmp$ e $Var(K)= qmp(1-p) + p^2 m q(1-q)$

No entanto, estou preso na derivação de $cov(K, N)$ . Agradeço qualquer ajuda para resolver isso.

binomial random-variable covariance

— Pierre Cattin
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\begin{aligned} Cov (K, N) & = E Cov (K, N | N) + Cov (E K | N, E N | N) \\ = E 0 0 + Cov (p N, N) \\ = 0 0 + p Var (N) \\ = p m q (1 1 - q) . \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Cov}(K,N) &=E\operatorname{Cov}(K,N|N)+\operatorname{Cov}(EK|N,EN|N) \\&=E 0+\operatorname{Cov}(pN,N) \\&=0+p\operatorname{Var}(N) \\&=pmq(1-q). \end{align}$

— Jarle Tufto
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