Intuição por trás da fórmula para a variação de uma soma de duas variáveis

10

Eu sei de estudos anteriores que

$Var(A+B) = Var(A) + Var(B) + 2 Cov (A,B)$

No entanto, não entendo por que isso acontece. Percebo que o efeito será "aumentar" a variação quando A e B covarem altamente. Faz sentido que, ao criar um composto a partir de duas variáveis altamente correlacionadas, você tenderá a adicionar as observações altas de A com as altas observações de B e as baixas observações de A com as baixas observações de B. Isso tenderá a crie valores extremos altos e baixos na variável composta, aumentando a variação do composto.

Mas por que funciona multiplicar a covariância por exatamente 2?

variance covariance intuition

— user1205901 - Restabelecer Monica
fonte

11

Se e estão perfeitamente correlacionados positivamente, então e se eles estão perfeitamente correlacionados negativamente, então . As medidas de covariância como distante ao longo desta faixa a sua relação é

A

$A$

B

$B$

V a r (A + B) = V a r (A) + V a r (B) + 2 \sqrt{V a r (A) V a r (B)}

$Var(A+B)= Var(A) + Var(B)+ 2\sqrt{ Var(A) Var(B)}$

V a r (A + B) = V a r (A) + V a r (B) - 2 \sqrt{V a r (A) V a r (B)}

$Var(A+B)= Var(A) + Var(B)- 2\sqrt{ Var(A) Var(B)}$

— Henry

21

Resposta simples:

A variação envolve um quadrado:

V a r (X) = E [(X - E [X])^{2}]

$Var(X) = E[(X - E[X])^2]$

Portanto, sua pergunta se resume ao fator 2 na identidade do quadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b

$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$

O que pode ser entendido visualmente como uma decomposição da área de um quadrado do lado na área dos quadrados menores dos lados e , além de dois retângulos dos lados e : $(a+b)$ $a$ $b$ $a$ $b$

Resposta mais envolvida:

Se você deseja uma resposta matematicamente mais envolvida, a covariância é uma forma bilinear, o que significa que é linear tanto no primeiro quanto no segundo argumento, isso leva a:

\begin{aligned} V a r (A + B) & = C o v (A + B, A + B) \\ = C o v (A, A + B) + C o v (B, A + B) \\ = C o v (A, A) + C o v (A, B) + C o v (B, A) + C o v (B, B) \\ = V a r (A) + 2 C o v (A, B) + V a r (B) \end{aligned}

$\begin{aligned} Var(A+B) &= Cov(A+B, A+B) \\ &= Cov(A, A+B) + Cov(B, A+B) \\ &= Cov(A,A) + Cov(A,B) + Cov(B,A) + Cov(B,B) \\ &= Var(A) + 2 Cov(A,B) + Var(B) \end{aligned}$

Na última linha, usei o fato de que a covariância é simétrica:

C o v (A, B) = C o v (B, A)

$Cov(A,B) = Cov(B,A)$

Resumindo:

São dois porque você deve considerar tanto quanto . $cov(A,B)$ $cov(B,A)$

— byouness
fonte

5

O conjunto de variáveis aleatórias é um espaço vetorial, e muitas das propriedades do espaço euclidiano podem ser analogas a elas. O desvio padrão atua como um comprimento e a variação como comprimento ao quadrado. A independência corresponde a ser ortogonal, enquanto a correlação perfeita corresponde à multiplicação escalar. Assim, a variância das variáveis independentes segue o Teorema de Pitágoras: .
$var(A+B) = var(A)+var(B)$

Se eles estão perfeitamente correlacionados, então
$std(A+B) = std(A)+std(B)$

Observe que isso é equivalente a
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2\sqrt{var(A)var(B)}$

Se eles não são independentes, seguem uma lei análoga à lei dos cossenos:
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2cov(A,B)$

Observe que o caso geral é um entre independência completa e correlação perfeita. Se e são independentes, então é zero. Assim, o caso geral é que tem sempre uma prazo e um prazo, e então ele tem alguma variação no prazo ; quanto mais correlacionadas as variáveis, maior será o terceiro termo. E isso é precisamente o que é: é vezes o de e . $A$ $B$ $cov(A,B)$ $var(A,B)$ $var(A)$ $var(B)$ $2\sqrt{var(A)var(B)}$ $2cov(A,B)$ $2\sqrt{var(A)var(B)}$ $r^2$ $A$ $B$

$var(A+B) = var(A)+var(B)+MeasureOfCorrelation*PerfectCorrelationTerm$

onde e $MeasureOfCorrelation = r^2$ $PerfectCorrelationTerm=2\sqrt{var(A)var(B)}$

Coloque em outros termos, se , então $r = correl(A,B)$

$\sigma_{A+B} = \sigma_A^2+\sigma_B^2+ 2(r\sigma_A)(r\sigma_B)$

Assim, é análogo ao na Lei dos Cossenos. $r^2$ $cos$

— Acumulação
fonte

2

Eu acrescentaria que o que você citou não é a definição de , mas uma conseqüência das definições de e . Portanto, a resposta para o porquê dessa equação é o cálculo realizado pela byouness . Sua pergunta pode realmente ser por que isso faz sentido; informalmente: $Var(A+B)$ $Var$ $Cov$

Quanto "variará" depende de quatro fatores: $A+B$

Quanto varia por si só. $A$
Quanto varia por si só. $B$
Quanto varia conforme se move (ou varia). $A$ $B$
Quanto varia conforme se move. $B$ $A$

O que nos leva a porque é um operador simétrico.

V a r (A + B) = V a r (A) + V a r (B) + C o v (A, B) + C o v (B, A)

$Var(A+B)=Var(A)+Var(B)+Cov(A,B)+Cov(B,A)$

= V a r (A) + V a r (B) + 2 C o v (A, B)

$=Var(A)+Var(B)+2Cov(A,B)$

C o v

$Cov$

— Bananin
fonte