Parametrizando as distribuições de Behrens

"Sobre o problema de Behrens-Fisher: uma revisão" de Seock-Ho Kim e Allen S. Cohen

Jornal de Estatísticas Educacionais e Comportamentais , volume 23, número 4, inverno, 1998, páginas 356–377

Eu estou olhando para isso e ele diz:

Fisher (1935, 1939) escolheu a estatística [onde é a estatística usual de uma amostra para ] onde é obtido no primeiro quadrante e [. . . ] A distribuição de é a distribuição de Behrens – Fisher e é definida pelos três parâmetros , e ,
$τ = \frac{δ - ({\bar{x}}_{2} - {\bar{x}}_{1})}{\sqrt{s_{1}^{2} / n_{1} + s_{2}^{2} / n_{2}}} = t_{2} \cos θ - t_{1} \sin θ$ $\tau = \frac{\delta-(\bar x_2 - \bar x_1)}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}} = t_2\cos\theta - t_1\sin\theta$ $t_i$ $t$ $i=1,2$ $\theta$ $\begin{matrix} (13) & \tan θ = \frac{s_{1} / \sqrt{n_{1}}}{s_{2} / \sqrt{n_{2}}} . \end{matrix}$ $\tan\theta = \frac{s_1/\sqrt{n_1}}{s_2/\sqrt{n_2}}.\tag{13}$ $\tau$ $\nu_1$ $\nu_2$ $\theta$

Os parâmetros foram definidos anteriormente como para . $\nu_i$ $n_i-1$ $i=1,2$

Agora, as coisas que não são observáveis aqui são e as duas populações significam , , cuja diferença é e, consequentemente, e as duas estatísticas . Os SDs de amostra e são observáveis e são usados para definir , de modo que é uma estatística observável, não um parâmetro populacional não observável. No entanto, vemos que está sendo usado como um dos parâmetros dessa família de distribuições! $\delta$ $\mu_1$ $\mu_2$ $\delta$ $\tau$ $t$ $s_1$ $s_2$ $\theta$ $\theta$

Será que eles deveriam ter dito que o parâmetro é o arco tangente de em vez de ? $\dfrac{\sigma_1/\sqrt{n_1}}{\sigma_2/\sqrt{n_2}}$ $\dfrac{s_1/\sqrt{n_1}}{s_2/\sqrt{n_2}}$

distributions parameterization fiducial

— Michael Hardy
fonte

A distribuição de Behrens-Fisher é definida por que é um número real e e são distribuições independentes com graus de liberdade e respectivamente. $t_2\cos\theta - t_1\sin\theta$ $\theta$ $t_2$ $t_1$ $t$ $\nu_2$ $\nu_1$

A solução de Behrens e Fisher do problema de Behrens-Fisher envolve a distribuição de Behrens-Fisher com dependendo das observações, porque é uma solução pseudo-bayesiana (de fato, uma fiducial): essa distribuição dependente de dados é uma distribuição posterior de (com a única parte aleatória na definição de porque os dados são fixos). $\theta$ $\tau$ $\delta$ $\tau$

— Stéphane Laurent
fonte

Então você está dizendo que é a distribuição de que não é aleatória , mesmo que eles digam e e são aleatórios? Então é a distribuição condicional, dada a razão de variações? Parece-me que os autores deveriam ter sido muito mais explícitos sobre isso.

t_{2} \cos θ - t_{1} \sin θ

$t_2\cos\theta - t_1\sin\theta$

θ

$\theta$

θ = \arctan \frac{s_{1} / \sqrt{n_{1}}}{s_{2} / \sqrt{n_{2}}}

$\theta=\arctan\dfrac{s_1/\sqrt{n_1}}{s_2/\sqrt{n_2}}$

s_{1}

$s_1$

s_{2}

$s_2$

— 22612 Michael Hardy

Então, isso deve ser visto como outro exemplo da técnica de condicionamento de Fisher em uma estatística auxiliar?

— Michael Hardy

s_{1}

$s_1$ e dependem dos dados, mas os dados são fixos, é como uma distribuição posterior nas estatísticas bayesianas. Na expressão , cada um de , , e é fixo e é aleatório.

s_{2}

$s_2$

τ

$\tau$

{\bar{x}}_{1}

$\bar x_1$

{\bar{x}}_{2}

$\bar x_2$

s_{1}

$s_1$

s_{2}

$s_2$

δ

$\delta$

— Stéphane Laurent

Responda ao seu segundo comentário: não sei. Aqui, esta é uma estatística fiducial.

— Stéphane Laurent

De acordo com esta resposta, toda a aleatoriedade em e vem da aleatoriedade em e , e o restante é fixo. Mas a justificativa para dizer que e têm as distribuições de probabilidade específicas que lhes são atribuídas é a distribuição dos dados. Devemos apenas dizer "isso é porque isso é inferência fiducial"?

t_{1}

$t_1$

t_{2}

$t_2$

μ_{1}

$\mu_1$

μ_{2}

$\mu_2$

t_{1}

$t_1$

t_{2}

$t_2$

— Michael Hardy

Parametrizando as distribuições de Behrens – Fisher