Distribuição de

Digamos, (com ) tem uma densidade . O que podemos dizer sobre a distribuição de $X \in \mathbb{R}^n$ $n > 1$ $f_X(x)$

Y = - \log f_{X} (X) ?

$Y = -\log f_X(X)?$

— Taylor
fonte

Bem, isso vai depender do que é , não é?

f

$f$

— jbowman

1. Você pode achar interessante começar considerando o mgf (ou mais geralmente, o cf) e ver o que você pode dizer disso; Como alternativa, se você estiver interessado em comportamento assintótico (em geral, n, principalmente ao lidar com independência), convém considerar o que é conhecido sobre os assintóticos de ... 2. Isso é para um exercício?

- 2 \log L

$-2\log \mathcal{L}$

— Glen_b -Reinstate Monica

Há um livro inteiro dedicado a isso, de Troutt et al. (1991) .

— Xian

O livro mencionado por Xi'an é de 2004. Refere-se a um artigo do ano de 1991 no qual o seguinte teorema aparece.

De: Troutt MD 1991 Um teorema da densidade das ordenadas de densidade e uma interpretação alternativa do método Box-Muller

Se uma variável aleatória X tiver uma densidade , , e se a variável aleatória tiver uma densidade , então onde é a medida de Lebesgue do conjunto $f(x)$ $x \in \mathbb{R}^n$ $v = f(x)$ $g(v)$
$g (v) = - v A^{'} (v),$ $g(v) = -vA^\prime(v),$ $A(v)$ $S (v) = {x : f (x) \geq v}$ $S(v) = \lbrace x: f(x) \geq v \rbrace$

Intuitivamente e não formal:

\begin{matrix} f_{Z} (z) d z = P (z < Z < z + d z) & = P (x (z) < X < x (z + d z)) \\ = P (x (z) < X < x (z) + d z \frac{d x}{d z}) \\ = f_{X} (X) \frac{d x}{d z} d z = z \frac{- d A (z)}{d z} d z \end{matrix}

$\begin{array}\\ f_Z(z) dz = P(z<Z<z+dz) &= P(x(z)<X<x(z+dz)) \\ &= P(x(z)<X<x(z)+dz \frac{dx}{dz}) \\ &= f_X(X) \frac{dx}{dz} dz = z \frac{-dA(z)}{dz} dz \end{array}$

De maneira semelhante, quando usamos uma variável transformada então: $Y = g(f_x(x))$

\begin{matrix} f_{Y} (y) d y = P (y < Y < y + d y) & = P (x (y) < X < x (y + d y)) \\ = P (x (y) < X < x (y) + d y \frac{d x}{d y}) \\ = f_{X} (X) \frac{d x}{d y} d y = g^{- 1} (y) \frac{- d A (y)}{d y} d y \end{matrix}

$\begin{array}\\ f_Y(y) dy = P(y<Y<y+dy) &= P(x(y)<X<x(y+dy)) \\ &= P(x(y)<X<x(y)+dy \frac{dx}{dy}) \\ &= f_X(X) \frac{dx}{dy} dy = g^{-1}(y) \frac{-dA(y)}{dy} dy \end{array}$

assim

f_{Y} (y) = - e^{- y} \frac{A (y)}{d y}

$f_Y(y) = -e^{-y} \frac{A(y)}{dy}$

exemplo de distribuição normal padrão:

f_{X} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- 0.5 x^{2}}

$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-0.5 x^2}$

y = \log (\sqrt{2 π}) + 0.5 x^{2}

$y = \log(\sqrt{2\pi}) + 0.5 x^2$

A (y) = C - \sqrt{8 (y - \log (\sqrt{2 π}))}

$A(y) = C-\sqrt{8(y-\log(\sqrt{2\pi}))}$

portanto

f_{Y} (y) = \frac{\sqrt{2} e^{- y}}{\sqrt{y - \frac{\log (2 π)}{2}}}

$f_Y(y) = \frac{\sqrt{2} e^{-y}}{\sqrt{y-\frac{\log(2\pi)}{2}}}$

exemplo uma distribuição normal multivariada:

f_{X} (x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{2 π} e^{- 0.5 (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}

$f_X(x_1,x_2) = \frac{1}{2\pi} e^{-0.5 (x_1^2 + x_2^2)}$

y = \log (2 π) + 0.5 (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})

$y = \log(2\pi) + 0.5 (x_1^2+x_2^2)$

A (y) = C - 2 π (y - \log (2 π))

$A(y) = C-2\pi(y-\log(2\pi))$

portanto

f_{Y} (y) = 2 π e^{- y} for y \geq l o g (2 π)

$f_Y(y) = 2\pi e^{-y} \qquad \qquad \text{for $y \geq log(2\pi)$}$

verificação computacional:

# random draws/simulation
x_1 = rnorm(100000,0,1)
x_2 = rnorm(100000,0,1)
y = -log(dnorm(x_1,0,1)*dnorm(x_2,0,1))

# display simulation along with theoretic curve
hist(y,breaks=c(0,log(2*pi)+c(0:(max(y+1)*5))/5),
     main = "computational check for distribution f_Y")
y_t <- seq(1,10,0.01)
lines(y_t,2*pi*exp(-y_t),col=2)

— Sextus Empiricus
fonte

A dificuldade com essa perspectiva é que a transformação depende de , em oposição a (na dimensão um).

f_{X} (X)

$f_X(X)$

X

$X$

F_{X} (X)

$F_X(X)$

— Xian