OLS:

Suponha que sejam séries com , ( e é semelhante ao , mas muda quando o manequim = 1). e , . Em um cenário do mundo real, haverá retornos periódicos do mercado de ações sobre as empresas (mas você pode ignorar isso). Existe um dummy, que é igual à unidade acima de e igual a zero caso contrário. O modelo de série temporal a ser estimado com OLS é: ${X_{it}},{Y_{it}}$ $X_{it}\sim N(0.1,1)$ $\sigma^2(Y_{it}) = 1$ $mean(Y_{it})$ $X_{it}$ $t \in \{1,2,...,200\}$ $i \in \{1,2,...,N\}$ $N$ $D_t$ $t \in \{150,151,...,200\}$ $\forall i$

$(1) Y_{it} = \alpha_i + \beta_i X_{it} + \gamma_i D_{t} + \epsilon_{it}$

Esse modelo geralmente adere às premissas de Gauss-Markov para cada . No entanto, temos para todo e . $i$ $E[\epsilon_{it}^T \epsilon_{jt}] \not= 0$ $i$ $j$

O próximo passo é construir um vetor de gama usando as estimativas do modelo . Chame esse vetor de . Em seguida, usamos isso no modelo transversal: $N$ $(1)$ $\bf{\hat{\gamma}}$

$(2) \hat{\gamma}_i = a + b Z_i + u_i$

onde é uma variável transversal que não causa violações nas suposições do OLS e é relevante para explicar . $Z_i$ $\hat{\gamma}_i$

A alegação na literatura econométrica aplicada é que no modelo leva a (i) Não há problema para as estimativas do coeficiente de OLS em , mas (ii) erros padrão tendenciosos em . $E[\epsilon_{it}^T \epsilon_{jt}] \not= 0$ $(1)$ $(2)$ $(2)$

Alguém pode postar idéias sobre por que esse é o caso?
Eu não entendo o que está na expressão . Claro que é um escalar e você não pode transpor um escalar. Isso é visto AQUI , onde eles aplicam essa metodologia. $\epsilon_{it}^T$ $E[\epsilon_{it}^T \epsilon_{jt}] \not= 0$ $\epsilon_{it}$

Você diz que não entende por que as estimativas de variação são tendenciosas na eq 2 e depois diz que podemos ignorar sua estimativa que, por acaso, é a equação 2? Acho que entendo o que você quer dizer e poderia dar uma resposta especulativa a isso, mas será melhor para você precisar sua pergunta.

γ

$\gamma$

— JDav

Na sua configuração, não pode ser estacionário, pois sua média depende de .

Y_{i t}

$Y_{it}$

t

$t$

— precisa saber é o seguinte

Existem três versões da expectativa (uma no título, outra no corpo e uma terceira nos comentários). Todos eles incorporam uma transposição misteriosa, embora em todos os casos apenas estejam presentes escalares. Você se importa de editar sua postagem para esclarecer?

— cardeal

@mpiktas Observação correta, tem média diferente após (dado ). Obrigado.

Y_{i t}

$Y_{it}$

t = 150

$t=150$

γ_{i} \neq 0

$\gamma_i \not= 0$

Algumas boas respostas foram apresentadas - eu apenas acrescentaria que isso precisa ser estimado como um modelo de coeficientes aleatórios (também conhecido como modelo multinível para sociólogos e psicólogos, também conhecido como modelo misto para bioestatísticos). Se os economistas não sabem disso e o estimam com um procedimento de duas etapas, isso é muito ruim para eles (e ainda estou esperando que os erros padrão de Fama-Macbeth morram, o que aparentemente eles simplesmente não querem fazer).

— StasK 23/08/12

Respostas:

Para ter certeza de que você precisa entrar nos detalhes, isso implica comparar a matriz de covariância de variância verdadeira com a que você obtém no segundo estágio de ols.

O verdadeiro :

Isso pode ser obtido substituindo a eq.2 na eq.1, o OLS agrupado segue e, a partir dele, a verdadeira matriz de covariância de variância : $\hat a , \hat b$

$Y_{it} = \alpha_i + \beta_i X_{it} + aD_t + bD_tZ_{i} +D_t u_{i} + \epsilon_{it}$

O uso da notação de matriz para dividir a equação nos parâmetros e outros leva a: $\gamma$

$Y = X\theta + Z\gamma + \varepsilon$

onde estamos interessados em , , Z é um vetor de duas colunas (uma estrutura semelhante define X, mas isso não interessa) e onde tem uma estrutura completa de covariâncias entre empresas, é por isso que não é diagonal ( ) como nas suposições de GAUSS-MARKOV. Por Frish-Waugh, podemos expressar ols como: $V(\hat \gamma)$ $\gamma=[a \; b]$ $Z=[D_t \; D_tZ_i]_{[i=1,..,N;t=1,...,T]}$ $V(\varepsilon) =\Sigma$ $\sigma^2I_{NT}$ $\gamma$

$\hat \gamma = (Z'M_{X}Z)^{-1}Z'M_{X}Y$ que $M_X= I-X(X'X)^{-1}X'$

o que implica a seguinte variação verdadeira:

$V(\hat \gamma) = H\Sigma H'$ onde $H = (Z'M_{X}Z)^{-1}Z'M_{X}$

O outro

Sob o pressuposto de empresas não correlacionadas (e períodos, mas esse não é o problema), tem uma estrutura diagonal mais simples . Isso significa que termos triangulares são 0. Sob uma especificação ainda mais simples, (aquela que é estimada por padrão por software econométrico e estatístico para OLS) segue as premissas de GAUSS-Markov, significando que mesmo os termos diagonais são iguais é rebaixado para $\Sigma$ $\Delta$ $\Delta$ $\Sigma$ $\Sigma$ $\sigma^2I$

Isso implica que não considerar a correlação entre empresas levaria a como: $V(\hat\gamma)$

$V(\hat \gamma) = H\Delta H'$ ou $V(\hat \gamma) = H\sigma^2I H' \equiv \sigma^2(Z'M_xZ)^{-1}$

que, como pode ser visto, não são iguais ao verdadeiro.

— JDav
fonte

Com palavras diferentes .. Estou basiclly dando os mesmos @mpiktas resposta deu

— JDav

(1) Realmente fantástico. (2) Parece que você ignorou quando expressou o modelo em forma de matriz? Isso não deve mudar nada do que você fez. (3) Você saberia por que o Portfolio OLS fornece SEs corretas? (Veja o artigo de 1986 que eu vinculei). Não se preocupe com a resposta (3) se não gostar de descobrir esse problema.

D_{i} u_{i}

$D_i u_i$

(2) Não coloquei todas as definições para permitir intuição e evitar os produtos kronecker ... desta forma, a demonstração é "mais rápida". Mas você pode deduzir que o novo termo aleatório é , isto significa que se as empresas foram correlacionados por então isso faz com que o novo termo aleatório a ser correlacionados em seu dimensão das empresas também. (3) não ouvi falar de um OLS de portfólio, mas acho que é apenas um outro nome para algo que já existe na econometria padrão para

ε_{i t} = D_{t} u_{i} + ϵ_{i t}

$\varepsilon_{it} = D_tu_i + \epsilon_{it}$

u_{i}

$u_i$

ε_{i t}

$\varepsilon_{it}$

— deletar

(3) uma boa estimativa implica uma boa estimativa, os OLS carteira de alguma forma está estimando a estrutura completa e não apenas as variações sem covariâncias: ou uma única variação:

Σ

$\Sigma$

Σ

$\Sigma$

Δ

$\Delta$

σ^{2}

$\sigma^2$

— JDav

Eu acho que a notação é imprecisa, ele usa escalares onde os vetores são necessários para se referir ao fato de que covariâncias entre empresas não são zero, então sua notação implica é um vetor de N linhas. Outra interpretação é que ele está se referindo ao elemento . Em ambos os casos, ele quer dizer a mesma coisa, mas como não é uma quantitativos ambigüidades jornal em notação matemática acontecer ...

ϵ_{i t} = [ϵ_{i t}]_{i = 1, . . ., N}

$\epsilon_{it} = [\epsilon_{it}]_{i=1,...,N}$

i j

$ij$

ϵ_{. t}^{T} ϵ_{. t}

$\epsilon_{.t}^T\epsilon_{.t}$

— JDav

Estou colocando outra resposta com mais detalhes.

No modelo de regressão linear padrão (em forma de matriz):

Y = X β + ε

$Y=X\beta+\varepsilon$

a estimativa OLS é a seguinte

\hat{β} = (X^{T} X)^{- 1} X^{T} Y .

$\hat\beta=(X^TX)^{-1}X^TY.$

Sua variação então é

V a r (\hat{β}) = (X^{T} X)^{- 1} X^{T} V a r (Y) X (X^{T} X)^{- 1} .

$Var(\hat\beta)=(X^TX)^{-1}X^TVar(Y)X(X^TX)^{-1}.$

A suposição usual para regressão é que

V a r (Y) = σ^{2} I,

$Var(Y)=\sigma^2I,$

onde sou a matriz de identidade. Então $I$

V a r (\hat{β}) = σ^{2} (X^{T} X)^{- 1} .

$Var(\hat\beta)=\sigma^2(X^TX)^{-1}.$

Agora, no seu caso, você tem dois modelos:

Y_{i} = M_{i} δ_{i} + ϵ_{i}

$Y_{i}=M_i\delta_i+\epsilon_i$

Γ = L c + u,

$\Gamma=Lc+u,$

Onde

$Y_i^T=(Y_{i1},...,Y_{iT})$ ,
$M_i=[1,X_i,D]$ , com , $X_i^T=(X_{i1},...,X_{iT})$ $D^T=(D_1,...,D_T)$
$\delta_i^T=(\alpha_i,\beta_i,\gamma_i)$
$\epsilon_i^T=(\epsilon_{i1},...,\epsilon_{iT})$
$\Gamma^T=(\gamma_1,...,\gamma_n)$
$L=[1,Z]$ , com $Z^T=(Z_1,...,Z_n)$
$c^T=(a,b)$
$u^T=(u_1,...,u_N)$ .

Observe que você declara o segundo modelo para as estimativas de , o que não é usual, portanto, reafirmo-o na forma usual, para o "verdadeiro" . $\gamma$ $\gamma$

$c$

V a r (\hat{c}) = (L^{T} L)^{- 1} L^{T} V a r (Γ) L (L^{T} L)^{- 1}

$Var(\hat{c})=(L^TL)^{-1}L^TVar(\Gamma)L(L^TL)^{-1}$

O problema é que não observamos . Observamos as estimativas . faz parte do vetor $\Gamma$ $\hat\Gamma$ $\hat\gamma_i$

{\hat{δ}}_{i} = δ_{i} + (M_{i}^{T} M_{i})^{- 1} M_{i}^{T} ϵ_{i} .

$\hat\delta_i=\delta_i+(M_i^TM_i)^{-1}M_i^T\epsilon_i.$

Suponha que seja aleatório e independente com e . Isso certamente vale para para não perdermos nada se estendermos isso para outros elementos de . $\delta_i$ $\epsilon_i$ $M_i$ $\gamma_i$ $\delta_i$

Vamos empilhar todos sobre os outros: $\hat\delta_i$

{\hat{δ}}^{T} = [δ_{1}^{T}, . . ., δ_{N}^{T}]

$\hat\delta^T=[\delta_1^T,...,\delta_N^T]$

e explore a variação de : $\hat\delta$

V a r (\hat{δ}) = [\begin{matrix} V a r ({\hat{δ}}_{1}) & c o v ({\hat{δ}}_{1}, {\hat{δ}}_{2}) & \dots & c o v ({\hat{δ}}_{1}, {\hat{δ}}_{N}) \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ c o v ({\hat{δ}}_{n}, {\hat{δ}}_{1}) & c o v ({\hat{δ}}_{n}, δ_{2}) & \dots & V a r ({\hat{δ}}_{N}) \end{matrix}]

$Var(\hat\delta)=\begin{bmatrix} Var(\hat\delta_1) & cov(\hat\delta_1,\hat\delta_2) & \dots & cov(\hat\delta_1,\hat\delta_N)\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ cov(\hat\delta_n,\hat\delta_1) & cov(\hat\delta_n,\delta_2) & \dots & Var(\hat\delta_N) \end{bmatrix}$

Suponha que e que . Para , temos $Var(\epsilon_i)=\sigma^2_\epsilon I$ $E\epsilon_i\epsilon_j^T=0$ $i\neq j$

\begin{aligned} c o v ({\hat{δ}}_{i}, {\hat{δ}}_{j}) & = c o v (δ_{i}, δ_{j}) + c o v ((M_{i}^{T} M_{i})^{- 1} M_{i}^{T} ϵ_{i}, (M_{j}^{T} M_{j})^{- 1} M_{j}^{T} ϵ_{j}) \\ = (M_{i}^{T} M_{i})^{- 1} M_{i}^{T} E (ϵ_{i} ϵ_{j}^{T}) M_{j} (M_{j}^{T} M_{j})^{- 1} \\ = 0 \end{aligned}

$\begin{align} cov(\hat\delta_i,\hat\delta_j)&=cov(\delta_i,\delta_j)+cov((M_i^TM_i)^{-1}M_i^T\epsilon_i,(M_j^TM_j)^{-1}M_j^T\epsilon_j)\\ &=(M_i^TM_i)^{-1}M_i^TE(\epsilon_i\epsilon_j^T)M_j(M_j^TM_j)^{-1}\\ &=0 \end{align}$

Para elementos diagonais, temos

V a r ({\hat{δ}}_{i}) = V a r (δ_{i}) + σ_{ϵ}^{2} (M_{i}^{T} M_{i})^{- 1}

$Var(\hat\delta_i)=Var(\delta_i)+\sigma_\epsilon^2(M_i^TM_i)^{-1}$

Vamos voltar à variação de . Como substituímos vez de a variação é a seguinte $\hat c$ $\hat\Gamma$ $\Gamma$

V a r (\hat{c}) = (L^{T} L)^{- 1} L^{T} V a r (\hat{Γ}) L (L^{T} L)^{- 1},

$Var(\hat{c})=(L^TL)^{-1}L^TVar(\hat\Gamma)L(L^TL)^{-1},$

Podemos extrair de selecionando os elementos apropriados: $Var(\hat\Gamma)$ $Var(\hat\delta)$

V a r (\hat{Γ}) = V a r (Γ) + d i a g (g_{1}, . . ., g_{n})

$Var(\hat\Gamma)=Var(\Gamma)+diag(g_1,...,g_n)$

onde é o elemento de correspondente ao . Cada é diferente de pois corresponde a e que não são assumidos como iguais. $g_i$ $\sigma_\epsilon^2(M_i^TM_i)^{-1}$ $Var(\hat\gamma_i)$ $g_i$ $g_j$ $X_{it}$ $X_{jt}$

Portanto, obtemos o resultado surpreendente: que algebricamente, mesmo que assumamos todas as propriedades necessárias, a matriz de covariância resultante, pelo menos algebricamente, não será igual à matriz de covariância OLS usual, pois para isso precisamos que seja constante vezes matriz de identidade que claramente não é. $Var(\hat\Gamma)$

Todas as fórmulas acima foram derivadas assumindo que são constantes e, portanto, são condicionais em . Isso significa que realmente calculamos . Colocando suposições adicionais em , acho que seria possível mostrar que a variação incondicional está correta. $X_{ij}$ $X_{ij}$ $Var(\hat\Gamma|X)$ $X_{ij}$

A suposição de independência colocada em também pode ser relaxada até a falta de correlação. $\epsilon_i$

Também seria possível usar o estudo de simulação para ver como a matriz de covariância difere se usarmos vez de . $\hat\Gamma$ $\Gamma$

— mpiktas
fonte

Eu acho que o problema está na definição do segundo modelo. Eu acho que é assumido que

γ_{i} = a + b Z_{i} + u_{i}

$\gamma_i=a+bZ_i+u_i$

com a suposição usual de que

c o v (γ_{i}, γ_{j} | Z_{1}, . . ., Z_{N}) = 0,

$cov(\gamma_i,\gamma_j|Z_1,...,Z_N)=0,$

isto é, o não está correlacionado se controlarmos o . Agora, quando você substitui vez de , precisa verificar se a suposição é válida, ou seja, se $\gamma_i$ $Z_i$ $\hat{\gamma}$ $\gamma$

c o v (\hat{γ_{i}}, {\hat{γ}}_{j} | Z_{i}) = 0.

$cov(\hat{\gamma_i},\hat{\gamma}_j|Z_i)=0.$

Agora

{\hat{γ}}_{i} = γ_{i} + L (ϵ_{i t}),

$\hat{\gamma}_i=\gamma_i+L(\epsilon_{it}),$

onde é alguma função linear. É seguro assumir que é independente de , mas se , a suposição necessária não se mantém. $L$ $\epsilon_{it}$ $Z_i$ $E\epsilon_{it}\epsilon_{jt}\neq0$

Como a suposição de não correlação é central para o cálculo das estatísticas comuns do OLS, isso explica o motivo pelo qual os erros padrão são enviesados.

Este foi um esboço, mas acho que a idéia deve funcionar se você entrar em detalhes minuciosos das máquinas OLS.

— mpiktas
fonte