Encontre densidades marginais de

Como o título diz, estou procurando as densidades marginais de

Até agora, descobri que é . Eu descobri isso convertendo em coordenadas polares e integrando sobre , e é por isso que estou preso na parte de densidades marginais. Eu sei que , mas não sei como resolver isso sem obter uma grande integral confusa e sei que a resposta não é ' não deveria ser uma grande integral bagunçada. É possível encontrar e, em seguida, para encontrar$c$$\frac{3}{2 \pi}$$f(x,y)$$drd\theta$$f_x(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy$$F(x,y)$ fx(x$\frac{dF}{dx}$$f_x(x)$? Essa parece ser a maneira intuitiva de fazê-lo, mas não consigo encontrar nada no meu livro que indique esses relacionamentos, por isso não queria fazer suposições erradas.

A geometria ajuda aqui. O gráfico de é uma cúpula esférica de raio unitário. (Daqui resulta imediatamente que seu volume é metade do volume de uma esfera unitária, , de onde .) As densidades marginais são dadas por áreas de seções verticais através de nessa esfera. Obviamente, cada seção transversal é um semicírculo: para obter a densidade marginal, encontre seu raio em função da variável restante e use a fórmula para a área de um círculo. A normalização da função univariada resultante para que a área da unidade a transforme em densidade.( 4 π / 3 ) / 2 c = 3 / ( 2 π $f$$(4 \pi /3)/2$$c=3/(2 \pi)$