Seleção de modelo PCA usando AIC (ou BIC)

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Desejo usar o Critério de informações de Akaike (AIC) para escolher o número apropriado de fatores a serem extraídos em um PCA. O único problema é que não tenho certeza de como determinar o número de parâmetros.

Considere uma matriz , em que representa o número de variáveis e o número de observações, de modo que . Como a matriz de covariância é simétrica, uma estimativa de probabilidade máxima de poderia definir o número de parâmetros na AIC igual a . $T\times N$ $X$ $N$ $T$ $X\sim \mathcal N\left(0,\Sigma\right)$ $\Sigma$ $\frac{N\left(N+1\right)}{2}$

Alternativamente, em um PCA, você poderia extrair os primeiros autovetores e autovalores de , chamá-los e e depois calcular onde é a variação residual média. De acordo com a minha contagem, se você tiver fatores de , você terá parâmetros em , parâmetros em e parâmetro em . $f$ $\Sigma$ $\beta_{f}$ $\Lambda_{f}$

Σ = β_{f} Λ_{f} β_{f}^{'} + I σ_{r}^{2}

$\Sigma=\beta_{f}\Lambda_{f}\beta_{f}'+I\sigma_{r}^{2}$

σ_{r}^{2}

$\sigma_{r}^{2}$

f

$f$

f

$f$

Λ_{f}

$\Lambda_{f}$

N f

$Nf$

β_{f}

$\beta_{f}$

1

$1$

σ_{r}^{2}

$\sigma_{r}^{2}$

Essa abordagem está correta? Parece que levaria a mais parâmetros do que a abordagem de probabilidade máxima como o número de factores aumenta para $N$ .

pca model-selection

— John
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N f

$N f$ superconta os parâmetros: há redundância devido ao fato de os autovetores serem mutuamente ortogonais.

— whuber

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O primeiro vetor próprio possui parâmetros livres. A condição de ortogonalidade restringe o segundo vetor próprio ao hiperespaço ortogonal ao primeiro, necessitando apenas parâmetros . Cada vetor próprio sucessivo precisa de um parâmetro a menos que o anterior. No limite de autovetores, você descarta (porque agora é zero), fornecendo parâmetros = in toto, de acordo com o seu primeiro parâmetro contagem.

N

$N$

N - 1

$N-1$

N

$N$

σ_{r}^{2}

$\sigma_r^2$

N + (N - 1) + \dots + 1

$N+(N-1)+\cdots+1$

N (N + 1) / 2

$N(N+1)/2$

— whuber

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@ A.Donda A situação é vaga: suponha que você também tenha indicado a multiplicidade de cada autovalor e que essas multiplicidades são somando Permitindo que o PCA encontre uma transformação ortogonal, teríamos parâmetros para determiná-lo. Mas os estabilizadores de cada espaço próprio são grupos ortogonais nas dimensõesCada um deles elimina parâmetros, deixando parâmetros para rotações. Os valores próprios fornecer os restantes parâmetros.

n_{1}, n_{2}, \dots, n_{s},

$n_1, n_2, \ldots, n_s,$

N .

$N.$

N (N - 1) / 2

$N(N-1)/2$

n_{i} .

$n_i.$

n_{i} (n_{i} - 1) / 2

$n_i(n_i-1)/2$

N (N - 1) / 2 - \sum_{i = 1}^{s} n_{i} (n_{i} - 1) / 2

$N(N-1)/2 - \sum_{i=1}^s n_i(n_i-1)/2$

s

$s$

— whuber

1

(Devo acrescentar que a aplicação dessa contagem à pergunta é duvidosa: o PCA usa todos os parâmetros , mesmo que encontre alguns autovalores de maior multiplicidade. E em quase qualquer conjunto de dados real, de qualquer maneira, nunca obterá uma multiplicidade maior que )

N (N - 1) / 2

$N(N-1)/2$

1

$1$

— whuber

1

@ whuber, obrigado! Minha pergunta é motivada por uma situação em que eu estimo uma matriz de covariância sob uma restrição nos valores próprios.

— A.Delda

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Os trabalhos de Minka ( Escolha automática de dimensionalidade para PCA , 2000) e de Tipping & Bishop ( Análise probabilística de componentes principais ) a respeito de uma visão probabilística do PCA podem fornecer a estrutura de seu interesse. O trabalho de Minka fornece uma aproximação do log- probabilidade onde é a dimensionalidade latente do seu conjunto de dados usando uma aproximação de Laplace; como declarado explicitamente: " Uma simplificação do método de Laplace é a aproximação BIC " . $\mathrm{log}\: p(D|k)$ $k$ $D$

Claramente, isso leva a um ponto de vista bayesiano do seu problema que não se baseia nos critérios da teoria da informação (divergência de KL) usados pela AIC.

Com relação à pergunta original "determinação do número de parâmetros", também acho que o comentário do @ whuber carrega a intuição correta.

— usεr11852 diz Reinstate Monic
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Eu estava brincando com AIC versus AICc em matrizes aleatórias de tamanhos variados. AICc parecia estar funcionando melhor. Essas referências parecem boas, mas ainda não tive chance de digerir.

— John

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A seleção de um número "apropriado" de componentes no PCA pode ser executada com elegância com a Análise Paralela (PA) da Horn. Os documentos mostram que esse critério supera consistentemente as regras práticas, como o critério do cotovelo ou a regra de Kaiser. O pacote R "paran" possui uma implementação de PA que requer apenas alguns cliques do mouse.

Obviamente, quantos componentes você retém dependem dos objetivos da redução de dados. Se você deseja apenas manter a variação "significativa", o PA fornecerá uma redução ideal. Se você deseja minimizar a perda de informações dos dados originais, no entanto, você deve reter componentes suficientes para cobrir 95% da variação explicada. Obviamente, isso manterá muito mais componentes que o PA, embora para conjuntos de dados de alta dimensão, a redução de dimensionalidade ainda seja considerável.

Uma observação final sobre o PCA como um problema de "seleção de modelo". Não concordo plenamente com a resposta de Peter. Vários documentos reformularam o PCA como um problema do tipo regressão, como o Sparse PCA, o Sparse Probabilistic PCA ou o ScotLASS. Nestas soluções PCA "baseadas em modelo", as cargas são parâmetros que podem ser configurados para 0 com termos de penalidade apropriados. Presumivelmente, nesse contexto, também seria possível calcular estatísticas do tipo AIC ou BIC para o modelo em consideração.

Essa abordagem poderia, teoricamente, incluir um modelo em que, por exemplo, dois PCs sejam irrestritos (todas as cargas diferentes de zero), versus um modelo em que PC1 é irrestrita e PC2 tenha todas as cargas definidas como 0. Isso seria equivalente a inferir se o PC2 é redundante no todo.

Referências (PA) :

Dinno, A. (2012). paran: Teste de Horn dos principais componentes / fatores. Pacote R versão 1.5.1. http://CRAN.R-project.org/package=paran
Horn JL 1965. Uma justificativa e um teste para o número de fatores na análise fatorial. Psychometrika . 30: 179-185
Hubbard, R. & Allen SJ (1987). Uma comparação empírica de métodos alternativos para extração de componentes principais. Journal of Business Research, 15 , 173-190.
Zwick, WR & Velicer, WF 1986. Comparação de cinco regras para determinar o número de componentes a reter. Boletim Psicológico. 99 : 432-442

— Ben M.
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Bem-vindo ao site, @BenM. Pela sua resposta, acho que será bom ter você por perto (embora eu não conheça o PCA além do básico para avaliar suas reivindicações). Uma pergunta, você observa que essas posições foram bem estabelecidas, você poderia listar algumas publicações representativas nas quais o leitor interessado poderia encontrar mais detalhes?

— gung - Restabelece Monica

-1

AIC é projetado para seleção de modelo. Este não é realmente um problema de seleção de modelo e talvez seja melhor seguir uma abordagem diferente. Uma alternativa poderia ser especificar uma certa porcentagem total de variação explicada (como, por exemplo, 75%) e parar quando a porcentagem atingir 75%, se alguma vez ocorrer.

— Michael R. Chernick
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1

Estou selecionando entre diferentes modelos com base no número de fatores (o modelo com 1 fator versus o modelo com 2, etc.). O problema com a porcentagem de variância é principalmente o fato de ignorar o custo de estimar autovetores adicionais, especialmente quando o número de observações é menor que o número de variáveis. AIC se encaixa bem com uma abordagem probabilística de PCA.

— John

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Michael, você poderia explicar exatamente por que esse não é um problema de seleção de modelos? Parece que John claramente o formulou como um.

— whuber

@whuber Qual é o modelo estatístico? Parece-me que decidir o número de componente principal usado para representar x% da variação em uma variável Y não está selecionando um modelo. Também não pensaria nos componentes principais como parâmetros do modelo.

— Michael R. Chernick

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Considere vetores 2D

desenhados a partir de

. Podemos parametrizar

em termos de duas variâncias

uma correlação

. Aninhado dentro deste modelo seria o modelo

. Agora, também podemos parametrizá-lo em termos do ângulo

do primeiro componente principal e dos valores próprios

desses componentes. Aninhado dentro deste seria o modelo

X_{i}

$X_i$

N (0, Σ)

$N(0,\Sigma)$

Σ

$\Sigma$

σ_{i}^{2}

$\sigma_i^2$

ρ

$\rho$

| ρ | = 1

$|\rho|=1$

θ

$\theta$

λ_{1} \geq λ_{2}

$\lambda_1\ge\lambda_2$

λ_{2} = 0

$\lambda_2=0$ . Ambas as perspectivas testam a correlação perfeita (colinearidade); eles apenas usam parametrizações diferentes. Se você permitir o primeiro como modelo, deverá permitir o segundo.

— whuber

-3

AIC não é apropriado aqui. Você não está selecionando entre modelos com números variáveis de parâmetros - um componente principal não é um parâmetro.

Existem vários métodos para decidir o número de fatores ou componentes de uma análise fatorial ou análise de componentes principais - teste de scree, valor próprio> 1 etc. Mas o teste real é substantivo: que número de fatores faz sentido ? Observe os fatores, considere os pesos e descubra qual é o mais adequado para seus dados.

Como outras coisas nas estatísticas, isso não é algo que pode ser facilmente automatizado.

— Peter Flom - Restabelece Monica
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4

Se "um componente principal não é um parâmetro", a fortiori nenhum coeficiente de

pode ser um parâmetro (porque

é completamente determinado pela decomposição do componente principal). Esta é uma afirmação intrigante.

Σ

$\Sigma$

Σ

$\Sigma$

— whuber

1

@whuber Um parâmetro de uma matriz de covariância talvez, mas não um parâmetro de modelo. Eu fico do lado de Peter nisso.

— Michael R. Chernick

3

Peter, exatamente que distinção você faz entre um "parâmetro de modelo" e um "parâmetro"? Não tenho conhecimento de nada disso e gostaria de saber mais sobre isso. Se seu objetivo é encontrar uma descrição parcimoniosa das covariâncias multivariadas, elas não constituem parâmetros "modelo"?

— whuber

3

n

$n$

m ≪ n

$m\ll n$

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Obrigado pela informação. As séries temporais são uma área da estatística sobre a qual sei pouco.

— Peter Flom - Restabelece Monica