Coeficiente de regressão logística exponenciada diferente de odds ratio

Pelo que entendi, o valor beta exponenciado de uma regressão logística é a razão de chances dessa variável para a variável dependente de interesse. No entanto, o valor não corresponde ao odds ratio calculado manualmente. Meu modelo está prevendo nanismo (uma medida de desnutrição) usando, entre outros indicadores, seguros.

// Odds ratio from LR, being done in stata
logit stunting insurance age ... etc. 
or_insurance = exp(beta_value_insurance)

// Odds ratio, manually calculated
odds_stunted_insured = num_stunted_ins/num_not_stunted_ins
odds_stunted_unins = num_stunted_unins/num_not_stunted_unins
odds_ratio = odds_stunted_ins/odds_stunted_unins

Qual é a razão conceitual para esses valores serem diferentes? Controlando por outros fatores na regressão? Só quero poder explicar a discrepância.

— Mike
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Você está colocando preditores adicionais no modelo de regressão logística? O odds ratio calculado manualmente corresponderá apenas ao odds ratio obtido da regressão logística se você não incluir outros preditores.

— Macro

Era o que eu imaginava, mas queria confirmação. Isso ocorre porque o resultado da regressão é responsável pela variação de outros preditores?

— Mike

Sim, Mike. Supondo que o modelo esteja especificado corretamente, você pode interpretá-lo como o odds ratio quando os outros preditores estiverem todos fixos.

— Macro

@ Macro: você se importaria de atualizar seu comentário como resposta?

— jrennie

Respostas:

Se você estiver apenas colocando esse preditor isolado no modelo, a razão de chances entre o preditor e a resposta será exatamente igual ao coeficiente de regressão exponenciada . Não acho que haja uma derivação desse resultado no presente, por isso aproveitarei a oportunidade para fornecê-lo.

$Y$ $X$

\begin{array}{ccc} Y = 1 & Y = 0 \\ X = 1 & p_{11} & p_{10} \\ X = 0 & p_{01} & p_{00} \end{array}

$\begin{array}{c|cc} \phantom{} & Y = 1 & Y = 0 \\ \hline X=1 & p_{11} & p_{10} \\ X=0 & p_{01} & p_{00} \\ \end{array}$

$X_i$ $Y_i$

O R = \frac{p_{11} p_{00}}{p_{01} p_{10}}

${\rm OR} = \frac{ p_{11} p_{00} }{p_{01} p_{10}}$

$p_{ij} = P(Y = i | X = j) \cdot P(X = j)$ $X$ $Y|X$

O R = \frac{P (Y = 1 | X = 1)}{P (Y = 0 | X = 1)} \cdot \frac{P (Y = 0 | X = 0)}{P (Y = 1 | X = 0)}

${\rm OR} = \frac{ P(Y = 1| X = 1) }{P(Y = 0 | X = 1)} \cdot \frac{ P(Y = 0 | X = 0) }{ P(Y = 1 | X = 0)}$

Na regressão logística, você modela essas probabilidades diretamente:

\log (\frac{P (Y_{i} = 1 | X_{i})}{P (Y_{i} = 0 | X_{i})}) = β_{0} + β_{1} X_{i}

$\log \left( \frac{ P(Y_i = 1|X_i) }{ P(Y_i = 0|X_i) } \right) = \beta_0 + \beta_1 X_i$

${\rm OR}$

\frac{P (Y_{i} = 1 | X_{i} = 1)}{P (Y_{i} = 0 | X_{i} = 1)} = \frac{(\frac{1}{1 + e^{- (β_{0} + β_{1})}})}{(\frac{e^{- (β_{0} + β_{1})}}{1 + e^{- (β_{0} + β_{1})}})} = \frac{1}{e^{- (β_{0} + β_{1})}} = e^{(β_{0} + β_{1})}

$\frac{ P(Y_i = 1| X_i = 1) }{P(Y_i = 0 | X_i = 1)} = \frac{ \left( \frac{1}{1 + e^{-(\beta_0+\beta_1)}} \right) } {\left( \frac{e^{-(\beta_0+\beta_1)}}{1 + e^{-(\beta_0+\beta_1)}}\right)} = \frac{1}{e^{-(\beta_0+\beta_1)}} = e^{(\beta_0+\beta_1)}$

e o segundo é:

\frac{P (Y_{i} = 0 | X_{i} = 0)}{P (Y_{i} = 1 | X_{i} = 0)} = \frac{(\frac{e^{- β_{0}}}{1 + e^{- β_{0}}})}{(\frac{1}{1 + e^{- β_{0}}})} = e^{- β_{0}}

$\frac{ P(Y_i = 0| X_i = 0) }{P(Y_i = 1 | X_i = 0)} = \frac{ \left( \frac{e^{-\beta_0}}{1 + e^{-\beta_0}} \right) } { \left( \frac{1}{1 + e^{-\beta_0}} \right) } = e^{-\beta_0}$

${\rm OR} = e^{(\beta_0+\beta_1)} \cdot e^{-\beta_0} = e^{\beta_1}$

$Z_1, ..., Z_p$

\frac{P (Y = 1 | X = 1, Z_{1}, . . ., Z_{p})}{P (Y = 0 | X = 1, Z_{1}, . . ., Z_{p})} \cdot \frac{P (Y = 0 | X = 0, Z_{1}, . . ., Z_{p})}{P (Y = 1 | X = 0, Z_{1}, . . ., Z_{p})}

$\frac{ P(Y = 1| X = 1, Z_1, ..., Z_p) }{P(Y = 0 | X = 1, Z_1, ..., Z_p)} \cdot \frac{ P(Y = 0 | X = 0, Z_1, ..., Z_p) }{ P(Y = 1 | X = 0, Z_1, ..., Z_p)}$

portanto, o odds ratio depende dos valores dos outros preditores no modelo e, em geral, não é igual a

\frac{P (Y = 1 | X = 1)}{P (Y = 0 | X = 1)} \cdot \frac{P (Y = 0 | X = 0)}{P (Y = 1 | X = 0)}

$\frac{ P(Y = 1| X = 1) }{P(Y = 0 | X = 1)} \cdot \frac{ P(Y = 0 | X = 0) }{ P(Y = 1 | X = 0)}$

Portanto, não é de surpreender que você esteja observando uma discrepância entre o coeficiente exponencial e o odds ratio observado.

$\beta$

— Macro
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Uau, obrigado por reservar um tempo para escrever uma explicação tão completa.

— Mike

@ Macro Descobri que "o valor de p inferior a 0,05" e "95% CI não inclui 1" não são consistentes na regressão logística (usei SAS). Esse fenômeno está relacionado à sua explicação?

— user67275

$\exp(\beta)$

$\mu$ no seu modelo, mas também há problemas se o relacionamento verdadeiro variar entre os níveis de outra covariável, mas um termo de interação não foi incluído, por exemplo.) Depois de estabelecermos que é significativo calcular uma razão de chances exponenciando um beta de um No modelo de regressão logística, podemos fazer perguntas sobre quando as taxas de chances marginal e baseada em modelo diferem, e quais você prefere quando o faz?

$0/1$ $r\ne0$ $\exp(\beta)$

Se o OR marginal e o OR baseado em modelo diferirem, você deve usar / interpretar a versão baseada em modelo. A razão é que o OR marginal não explica a confusão entre suas covariáveis, enquanto o modelo o faz. Esse fenômeno está relacionado ao Paradox de Simpson , sobre o qual você pode ler (o SEP também tem uma boa entrada , há uma discussão no CV aqui: Basic-simpson's-paradox , e você pode pesquisar na tag simpsons-paradox do CV ). Por uma questão de simplicidade e praticidade, convém usar apenas o OR baseado em modelo, pois será claramente preferível ou o mesmo.

— - Reinstate Monica
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