Compreendendo o problema de Behrens – Fisher

Esta seção de este artigo diz:

Ronald Fisher, em 1935, introduziu inferência fiducial para aplicá-la a esse problema. Ele se referiu a um artigo anterior de WV Behrens de 1929. Behrens e Fisher propuseram encontrar a distribuição de probabilidade de onde e são as duas médias de amostra e e são seus desvios padrão. [. . . ] Fisher aproximou a distribuição disso ignorando a variação aleatória dos tamanhos relativos dos desvios padrão,

$$T \equiv {\bar x_1 - \bar x_2 \over \sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}}$$ $\bar x_1$$\bar x_2$$s_1$$s_2$ $${s_1 / \sqrt{n_1} \over \sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}}.$$

Acho que não estou inclinado a acreditar nisso. (Portanto, a Wikipedia é falível!) Em algum momento das próximas semanas, vou ler o que Fisher, Behrens e Bartlett escreveram sobre isso na década de 1930. Por enquanto, estou vendo o livro de Fisher, Statistical Methods e Scientific Inference . Assim como Edwin Jaynes, estou tendo a impressão de que o fato de ele ser ocasionalmente um idiota não altera o fato de que ele era um grande gênio, mas nem sempre se expressava da maneira que era melhor para se comunicar. mortais menores. Na página 97, Fisher escreve sobre Bartlett:

[...] o conjunto de referência [...] não se limitou ao subconjunto com a relação observada, mas foi avidamente apreendido por MS Bartlett, como se fosse um defeito no teste de significância do hipótese composta, de que, em casos especiais, o critério de rejeição é menos frequentemente alcançado pelo acaso do que em outros. Na reflexão, não acho que se deva esperar outra coisa, [...]$s_1/s_2$

Assim, parece-me que Fisher não pretendia "ignorar" a "variação aleatória" da razão como um meio de aproximação, mas, em vez disso, ele pensou que se deveria condicionar em . Isso parece "condicionar uma estatística auxiliar", que Fisher empregou com tanto sucesso em outros contextos.$s_1/s_2$$s_1/s_2$

Se bem me lembro, ouvi falar de Bartlett pela primeira vez quando li sobre isso na Encyclopedia of Statistical Science , que dizia simplesmente que Bartlett foi o primeiro a mostrar que intervalos fiduciais não são a mesma coisa que intervalos de confiança, mostrando que os intervalos fiduciais que Fisher havia derivado nesse problema não apresentava taxas de cobertura constantes. Essa declaração não me deixou com a impressão de que havia alguma controvérsia sobre isso.

Então, eis a minha pergunta: o que está mais próximo da verdade: o artigo da Wikipedia ou minha suspeita?

• Fisher, RA (1935) "O argumento fiducial na inferência estatística", Annals of Eugenics , 8, 391–398.

Eu posso ter mencionado isso no site uma vez antes. Vou tentar encontrar um link para um post onde discuti isso. Por volta de 1977, quando eu era estudante de graduação em Stanford, tivemos um seminário Fisher em que me matriculei. Vários professores e visitantes de Stanford participaram, incluindo Brad Efron e os visitantes Seymour Geisser e David Hinkley. Jimmie Savage havia acabado de publicar um artigo com o título "Sobre reler RA Fisher" no Annal of Statistics, eu acho. Como você está muito interessado em Fisher, recomendo que você encontre e leia este documento.

Motivado pelo artigo, o seminário foi projetado para reler muitos dos artigos famosos de Fisher. Minha tarefa foi o artigo sobre o problema de Behrens-Fisher. Meu sentimento é que Fisher era vaidoso e teimoso, mas nunca tolo. Ele tinha uma grande intuição geométrica e às vezes tinha dificuldade em se comunicar com os outros. Ele teve uma relação muito cordial com Gosset, mas discordâncias duras com Karl Pearson (máxima verossimilhança versus método dos momentos) e com Neyman e Egon Pearson (teste de significância por inferência fiducial vs abordagem de Neyman-Pearson ao teste de hipóteses). Embora o argumento fiducial seja geralmente considerado a única grande falha de Fisher e tenha sido desacreditado, a abordagem não está totalmente morta e houve novas pesquisas nos últimos anos.

Penso que essa inferência fiducial foi o modo de Fisher tentar ser um "bayesiano objetivo". Tenho certeza de que ele pensou muito sobre os fundamentos estatísticos. Ele não aceitou a abordagem bayesiana, mas também não considerou a idéia de basear a inferência em considerar as possíveis amostras que você não desenhou como fazendo sentido. Ele acreditava que a inferência deveria se basear apenas nos dados disponíveis. Essa idéia é muito parecida com a inferência bayesiana, na medida em que os bayesianos desenham inferência baseada apenas nos dados (a probabilidade) e nos parâmetros (a distribuição anterior). Fisher, na minha opinião, pensava muito como Jeffreys, exceto que ele queria que a inferência se baseasse na probabilidade e que dispensasse o anterior completamente. Foi isso que levou à inferência fiducial.

Um link para o artigo Savage

A biografia da filha de Fisher, Joan Fisher Box

RA Fisher Uma apreciação, editores de Hinkley e Feinberg

Um livro de Erich Lehmann sobre Fisher e Neyman e o nascimento da estatística clássica

Este é um link para uma postagem anterior que comentei que você também postou. Problema de Behrens – Fisher

Concluindo, acho que preciso responder à sua breve pergunta. Se a afirmação que você citou "Fisher aproximou a distribuição disso ignorando a variação aleatória dos tamanhos relativos dos desvios padrão" é a que você está se referindo, acho que isso é totalmente falso. Fisher nunca ignorou a variação. Reitero que acho que o argumento fiducial foi fundamentado na idéia de que os dados observados e a função de probabilidade devem ser a base da inferência e não as outras amostras que você poderia ter obtido da distribuição da população. Então, eu ficaria do seu lado neste. Com relação a Bartlett, como me lembro do meu estudo sobre isso há muitos anos, eles também tiveram debates acalorados sobre isso e Bartlett fez um bom argumento e se manteve no debate.