Independência das estatísticas da distribuição gama

Seja uma amostra aleatória da distribuição gama .$X_1,...,X_n$$\mathrm{Gamma}\left(\alpha,\beta\right)$

Seja e a média e a variação da amostra, respectivamente.$\bar{X}$$S^2$

Em seguida, prove ou refute que e são independentes.$\bar{X}$$S^2/\bar{X}^2$

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Minha tentativa: Desde , precisamos verificar a independência de e , mas como devo estabelecer a independência entre eles?$S^2/\bar{X}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i}{\bar{X}}-1\right)^2$$\bar{X}$$\left(\frac{X_i}{\bar{X}} \right)_{i=1}^{n}$

Há uma demonstração atraente, simples e intuitivamente óbvia para integral$\alpha.$ Baseia-se apenas em propriedades conhecidas da distribuição uniforme, distribuição gama, processos de Poisson e variáveis ​​aleatórias e é assim:

1. Cada é o tempo de espera até que ocorram pontos de um processo de Poisson.$X_i$$\alpha$

2. A soma é, portanto, o tempo de espera até que pontos desse processo ocorram. Vamos chamar esses pontos de n α Z 1 , Z 2 , … , Z n α$Y = X_1+X_2+\cdots + X_n$$n\alpha$$Z_1, Z_2, \ldots, Z_{n\alpha}.$

3. Condicionais em , os primeiros pontos são independentemente distribuídos uniformemente entre en α - 1 0 Y $Y$$n\alpha-1$$0$$Y.$

4. Portanto, as razões são independentemente distribuídas uniformemente entre e Em particular, suas distribuições não dependem de0 1. Y .$Z_i/Y,\ i=1,2,\ldots, n\alpha-1$$0$$1.$$Y.$

5. Consequentemente, qualquer função (mensurável) do é independente deY $Z_i/Y$$Y.$

6. Entre essas funções estão (onde os colchetes denotam as estatísticas da ordem do ).

   $$\eqalign{X_1/Y &= Z_{[\alpha]}/Y\\ X_2/Y &= Z_{[2\alpha]}/Y - Z_{[\alpha]}/Y\\ \ldots\\ X_{n-1}/Y &= Z_{[(n-1)\alpha]}/Y - Z_{[(n-2)\alpha]}/Y\\ X_n/Y &= 1 - Z_{[(n-1)\alpha]}/Y}$$ $[]$$Z_i$

Neste ponto, observe que pode ser escrito explicitamente como uma função (mensurável) do e, portanto, é independente de$S^2/\bar X^2$$X_i/Y$$\bar X = Y/n.$

Você deseja provar que a média e o rv.s são independentes ou equivalentemente que a soma e as relações são independente. Podemos provar um resultado um pouco mais geral assumindo que o possua formas diferentes , mas a mesma escala que pode ser assumida como .$\bar{X}$$n$$X_i/\bar{X}$$U := \sum X_i$$n$$W_i := X_i / U$$X_i$$\alpha_i$$\beta>0$$\beta = 1$

Considere a transformação conjunta de Laplace de e ie, Expressa como uma integral dimensional sobre que a constante é relativa a . Se introduzirmos novas variáveis ​​sob o sinal integral, definindo $U$$\mathbf{W}=[W_i]_{i=1}^n$

$$\psi(t,\,\mathbf{z}) := \text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}\} = \text{E}\left\{ \exp\left[-t \sum_i X_i - \sum_i z_i \,\frac{X_i}{U} \right] \right\}$$ $n$$(0, \infty)^n$
$$%% \psi(t,\,\mathbf{z} = \text{Cst} \, \int \exp \left[- (1 + t)(x_1 + \dots + x_n) - \frac{z_1 x_1 + \dots + z_n x_n}{x_1 + \dots + x_n} \right] \, x_1 ^{\alpha_1 - 1} \dots \, x_n^{\alpha_n - 1} \text{d}\mathbf{x}$$ $\mathbf{x}$$\mathbf{y} := (1 + t)\, \mathbf{x}$ , vemos facilmente que a integral pode ser escrita como um produto de duas funções, uma dependendo de a outra dependendo do vetor . Isso prova que e são independentes.$t$$\mathbf{z}$$U$$\mathbf{W}$

Isenção . Esta questão está relacionada ao teorema de Lukacs sobre independência de soma proporcional , daí ao artigo de Eugene Lukacs A Characterization of the Gamma Distribution . Acabei de extrair aqui a parte relevante deste artigo (ou seja, p. 324), com algumas mudanças nas notações. Também substituí o uso da função característica pela da transformada de Laplace para evitar alterações de variáveis ​​envolvendo números complexos.

Seja . Observe que é uma estatística auxiliar de , ou seja, sua distribuição não depende de . ( X i / L ) i p $U=\sum_i X_i$$(X_i /U)_i$$\beta$$\beta$

Como é uma estatística suficientemente completa de , é independente de pelo teorema de Basu, portanto a conclusão segue.β ( X i / U ) $U$$\beta$$(X_i /U)_i$

Não tenho certeza da construção da estatística auxiliar, pois ela é apenas independente de , não .$\beta$$\alpha$