Quando o Teorema do Limite Central e a Lei dos Grandes Números discordam

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Essa é essencialmente uma replicação de uma pergunta que encontrei no math.se , que não obteve as respostas que eu esperava.

Seja uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com e . $\{ X_i \}_{i \in \mathbb{N}}$ $\mathbb{E}[X_i] = 1$ $\mathbb{V}[X_i] = 1$

Considere a avaliação de

lim_{n \to \infty} P (\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \leq \sqrt{n})

$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \sqrt{n}\right)$

Essa expressão deve ser manipulada, pois, como é, ambos os lados do evento de desigualdade tendem ao infinito.

A) TENTE SUBTRACÇÃO

Antes de considerar a instrução limitadora, subtraia $\sqrt{n}$ de ambos os lados:

lim_{n \to \infty} P (\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} - \sqrt{n} \leq \sqrt{n} - \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} P (\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - 1) \leq 0) = Φ (0) = \frac{1}{2}

$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i -\sqrt{n} \leq \sqrt{n}-\sqrt{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n (X_i - 1) \leq 0\right) \\ = \Phi(0) = \frac{1}{2}$

a última igualdade do CLT, onde $\Phi()$ é a função de distribuição normal padrão.

B) TENTE MULTIPLICAÇÃO

Multiplique ambos os lados por $1/\sqrt{n}$

lim_{n \to \infty} P (\frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \leq \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} P (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \leq 1)

$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac {1}{\sqrt{n}}\cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \frac {1}{\sqrt{n}}\cdot\sqrt{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \leq 1\right)$

= lim_{n \to \infty} P ({\bar{X}}_{n} \leq 1) = lim_{n \to \infty} F_{{\bar{X}}_{n}} (1) = 1

$= \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\bar X_n \leq 1\right) = \lim_{n \to \infty}F_{\bar X_n}(1) = 1$

onde $F_{\bar X_n}()$ é a função de distribuição da amostra média $\bar X_n$ , que pelo LLN converge em probabilidade (e também em distribuição) para a constante $1$ , daí a última igualdade.

Então, obtemos resultados conflitantes. Qual é o caminho certo? E por que o outro está errado?

probability mathematical-statistics asymptotics

— Alecos Papadopoulos
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1

@JuhoKokkala Claro, aqui está, math.stackexchange.com/q/2830304/87400 Apenas ignore o erro do OP lá.

— Alecos Papadopoulos

2

Eu acho que o problema está na segunda declaração invocando o LLN

— Glen_b -Reinstate Monica

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Eu te segui até a igualdade final. Está claramente errado, porque esperamos que se aproxime de para grande e, portanto, seu limite não deve ser igual a Qual é a justificativa pretendida? Não é a afirmação de nenhuma versão de uma lei de grandes números que eu conheço.

P ({\bar{X}}_{n} \leq 1)

$\mathbb{P}(\bar X_n\le 1)$

1 / 2

$1/2$

n

$n$

1.

$1.$

— whuber

1

@whuber Supostamente, que toda a probabilidade da média da amostra se concentra no valor . Se isso estiver errado, acredito que é importante que o erro seja detalhado em uma resposta, esse é o objetivo desta pergunta.

1

$1$

— Alecos Papadopoulos

2

Alecos, minha preocupação não é se o passo final está errado: diz respeito às suas razões para fazê-lo. Afinal, não é disso que se trata a questão? Ainda não li nada de você sobre essas razões e hesitaria em adivinhar o que elas poderiam ser. Embora você se refira a um "LLN", acredito que a solução do seu problema provavelmente esteja na descrição precisa do que você entende "LLN" a afirmar.

— whuber

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O erro aqui provavelmente ocorre no seguinte fato: a convergência na distribuição assume implicitamente que converge para nos pontos de continuidade de . Como a distribuição limite é de uma variável aleatória constante, ela tem uma descontinuidade de salto em , portanto, é incorreto concluir que o CDF converge para . $F_n(x)$ $F(x)$ $F(x)$ $x=1$ $F(x)=1$

— Alex R.
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1

A maneira como definimos convergência na distribuição não exclui a possibilidade de convergência nos pontos de descontinuidade - apenas não exige isso.

— Alecos Papadopoulos

1

Mas se a convergência na distribuição não exige que converja para , em que se baseia a última igualdade na questão?

F_{n} (1)

$F_n(1)$

F (1)

$F(1)$

— Juho Kokkala

1

@ Juho Não é baseado em nada - esse é o cerne da questão. Não existe um teorema que permita fazer a última equação na questão.

— whuber

1

@AlecosPapadopoulos: Eu nunca disse que isso não exclui a possibilidade. Estou dizendo implicitamente que você precisa justificar a última igualdade além do que lhe é dado pela convergência na distribuição. Por exemplo, se é Bernoulli, seria verdade.

X_{n}

$X_n$

— Alex R.

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Para variáveis aleatórias iid com defina Agora, o CLT diz que, para cada número real fixo , . O OP aplica o CLT para avaliar $X_i$ $E[X_i]= \operatorname{var}(X_i)=1$

\begin{aligned} Z_{n} & = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}, \\ Y_{n} & = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} . \end{aligned}

$\begin{align}Z_n &= \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n X_i,\\ Y_n &= \frac{1}{{n}}\sum_{i=1}^n X_i. \end{align}$

z

$z$

lim_{n \to \infty} F_{Z_{n}} (z) = Φ (z - 1)

$\lim_{n\to\infty} F_{Z_n}(z) = \Phi(z-1)$

lim_{n \to \infty} P (Z_{n} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}) = Φ (0) = \frac{1}{2} .

$\lim_{n\to\infty}P\left(Z_n \leq \frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \Phi(0) = \frac 12.$

Como as outras respostas, bem como vários comentários sobre a pergunta do OP, apontaram, é a avaliação do OP de que é suspeita. Considere o caso especial quando o iid são variáveis aleatórias discretas assumindo os valores e com probabilidade igual . Agora, pode assumir todos os valores inteiros pares em e, quando for ímpar, não pode assumir o valor e, portanto, não pode assumir o valor $\lim_{n\to\infty} P(Y_n \leq 1)$ $X_i$ $0$ $2$ $\frac 12$ $\sum_{i=1}^n X_i$ $[0,2n]$ $n$ $\sum_{i=1}^n X_i$ $n$ $Y_n = \frac 1n \sum_{i=1}^n X_i$ $1$ . Além disso, como a distribuição de é simétrica em torno de , temos que tem valor sempre que é ímpar. Assim, a sequência dos números contém a subsequência nos quais todos os termos têm valor . Por outro lado, a subsequência está convergindo para . Conseqüentemente, $Y_n$ $1$ $P(Y_n \leq 1) = F_{Y_n}(1)$ $\frac 12$ $n$

P (Y_{1} \leq 1), P (Y_{2} \leq 1), \dots, P (Y_{n} \leq 1), \dots

$P(Y_1 \leq 1), P(Y_2 \leq 1), \ldots, P(Y_n \leq 1), \ldots$

P (Y_{1} \leq 1), P (Y_{3} \leq 1), \dots, P (Y_{2 k - 1} \leq 1), \dots

$P(Y_1 \leq 1), P(Y_3 \leq 1), \ldots, P(Y_{2k-1} \leq 1), \ldots$

\frac{1}{2}

$\frac 12$

P (Y_{2} \leq 1), P (Y_{4} \leq 1), \dots, P (Y_{2 k} \leq 1), \dots

$P(Y_2 \leq 1), P(Y_ 4\leq 1), \ldots, P(Y_{2k} \leq 1), \ldots$

1

$1$

lim_{n \to \infty} P (Y_{n} \leq 1)

$\lim_{n\to\infty} P(Y_n \leq 1)$ não existe e as reivindicações de convergência de para 1 devem ser vistas com muita suspeita.

P (Y_{n} \leq 1)

$P(Y_n\leq 1)$

— Dilip Sarwate
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Seu primeiro resultado é o correto. Seu erro ocorre na segunda parte, na seguinte declaração incorreta:

lim_{n \to \infty} F_{{\bar{X}}_{n}} (1) = 1.

$\lim_{n \rightarrow \infty} F_{\bar{X}_n}(1) = 1.$

Esta afirmação é falsa (o lado direito deve ser ) e não segue a lei dos grandes números, como afirmado. A lei fraca de grandes números (que você invoca) diz que: $\tfrac{1}{2}$

lim_{n \to \infty} P (| {\bar{X}}_{n} - 1 | ⩽ ε) = 1 for all ε > 0.

$\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \Big( |\bar{X}_n - 1| \leqslant \varepsilon \Big) = 1 \quad \quad \text{for all } \varepsilon > 0.$

Para todo a condição abrange alguns valores em que e alguns valores em que . Portanto, o LLN não segue que . $\varepsilon > 0$ $|\bar{X}_n - 1| \leqslant \varepsilon$ $\bar{X}_n \leqslant 1$ $\bar{X}_n > 1$ $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} ( \bar{X}_n \leqslant 1 ) = 1$

— Restabelecer Monica
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O resultado (errôneo) provém da implicação "convergência em probabilidade implica convergência em distribuição". A questão não afirma que a afirmação vem diretamente do LLN.

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos: Convergência em probabilidade faz implica convergência na distribuição. Novamente, a convergência na distribuição é necessária apenas em pontos de continuidade. Mas, talvez você queira dizer que convergência em probabilidade não implica convergência pontual de distribuição.

— Alex R.

@AlexR. Não sei onde está sua objeção. Acredito que esse problema esteja coberto na minha própria resposta.

— Alecos Papadopoulos

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Convergência em probabilidade implica convergência em distribuição. Mas ... que distribuição? Se a distribuição limitadora tiver uma descontinuidade de salto, os limites se tornarão ambíguos (porque vários valores são possíveis na descontinuidade).

onde é a função de distribuição da amostra média , que pelo LLN converge em probabilidade (e também em distribuição) para a constante , $F_{\bar X_n}()$ $\bar X_n$ $1$

Isso não está certo, e também é fácil mostrar que não pode estar certo (diferente da discordância entre CLT e LLN). A distribuição limitadora (que pode ser vista como o limite para uma sequência de variáveis distribuídas normais) deve ser:

F_{{\bar{X}}_{\infty}} (x) = {\begin{cases} 0 & for x < 1 \\ 0.5 & for x = 1 \\ 1 & for x > 1 \end{cases}

$F_{\bar{X}_\infty}(x) = \begin{cases} 0 & \text{for } x<1 \\ 0.5& \text{for } x=1\\ 1 & \text{for } x>1 \end{cases}$

para esta função, você tem que, para qualquer e todo , a diferença para suficientemente grande . Isso falharia se vez de $\epsilon>0$ $x$ $|F_{\bar{X}_n}(x)-F_{\bar{X}_\infty}(x)|<\epsilon$ $n$ $F_{\bar{X}_\infty}(1)=1$ $F_{\bar{X}_\infty}(1)=0.5$

Limite de uma distribuição normal

Pode ser útil escrever explicitamente a soma usada para invocar a lei dos grandes números.

{\bar{X}}_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim N (1, \frac{1}{n})

$\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \sim N(1,\frac{1}{n})$

^{O limite para é realmente equivalente à função Dirac Delta quando é representado como o limite da distribuição normal com a variação indo a zero. $n\to \infty$ $\hat{X}_n$}

Usando essa expressão, é mais fácil ver o que está acontecendo sob o capô, em vez de usar as leis prontas do CLT e LLN que obscurecem o raciocínio por trás das leis.

Convergência em probabilidade

A lei dos grandes números fornece 'convergência em probabilidade'

lim_{n \to \infty} P (| {\bar{X}}_{n} - 1 | > ϵ) = 0

$\lim_{n \to \infty} P(|\bar{X}_n-1|>\epsilon) =0$

com $\epsilon > 0$

^{Uma declaração equivalente poderia ser feita para o teorema do limite central com
$\lim_{n \to \infty} P(|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum \left( X_i-1 \right)|>\frac{\epsilon}{n}) =0$}

É errado afirmar que isso implica em

lim_{n \to \infty} P (| {\bar{X}}_{n} - 1 | > 0) = 0

$\lim_{n \to \infty} P(|\bar{X}_n-1|>0) =0$

^{É menos agradável que essa pergunta seja postada tão cedo (confusa, mas interessante ver as diferentes discussões / abordagens matemática versus estatísticas, portanto, não tão ruins assim). A resposta de Michael Hardy sobre a troca de pilha matemática lida com ela de maneira muito eficaz em termos da lei forte de grandes números (o mesmo princípio que a resposta aceita de drhab na pergunta cruzada e Dilip aqui). Temos quase certeza de que uma sequência converge para 1, mas isso não significa que $\bar{X}_1, \bar{X}_2, \bar{X}_3, ... \bar{X}_n$ $\lim_{n \to \infty} P(\bar{X}_n = 1)$ será igual a 1 (ou talvez nem exista como mostra Dilip). O exemplo de dado nos comentários de Tomasz mostra isso muito bem de um ângulo diferente (em vez de o limite não existir, o limite passa a zero). A média de uma sequência de jogadas de dados irá convergir para a média dos dados, mas a probabilidade de ser igual a isso será zero.}

Função passo a passo e função delta Dirac

O CDF de é o seguinte: $\bar{X}_n$

F_{{\bar{X}}_{n}} (x) = \frac{1}{2} (1 + erf \frac{x - 1}{\sqrt{2 / n}})

$F_{\bar{X}_n}(x) = \frac{1}{2} \left(1 + \text{erf} \frac{x-1}{\sqrt{2/n}} \right)$

com, se você , (relacionada à função de passo Heaviside , a integral da função delta Dirac quando vista como o limite de distribuição normal). $\lim_{n \to \infty} F_{\bar{X}_n}(1) = 0.5$

Acredito que essa visão resolva intuitivamente sua pergunta sobre 'mostrar que está errado' ou, pelo menos, mostra que a pergunta sobre como entender a causa desse desacordo entre CLT e LLN é equivalente à questão de entender a integral da função delta do Dirac ou uma sequência de distribuições normais com variação decrescente para zero.

— Sextus Empiricus
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Sua distribuição limitadora não é de fato uma distribuição. Um CDF deve ser contínuo contínuo, enquanto claramente não está em .

x = 1 / 2

$x=1/2$

— Alex R.

A continuidade correta parece ser necessária para que, para cada , tenhamos como eventos está aninhado, devemos ter mas isso é verdade para o nosso caso e onde está o problema? Essa continuidade correta é necessária com base em axiomas de probabilidade ou é apenas uma convenção para que o CDF funcione nos casos mais comuns?

a

$a$

lim_{n \to \infty} F_{X} (a + \frac{1}{n}) = F_{X} (a)

$\lim_{n \to \infty} F_{X}(a+\frac{1}{n}) = F_{X}(a)$

X \leq a + \frac{1}{n}

$X \leq a+\frac{1}{n}$

lim_{n \to \infty} F_{X} (a + \frac{1}{n}) = lim_{n \to \infty} P (X \leq a + \frac{1}{n}) = P (lim_{n \to \infty} X \leq a + \frac{1}{n}) = P (X \leq a) = F_{X} (a)

$\lim_{n \to \infty} F_{X}(a+\frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} P(X \leq a+\frac{1}{n}) = P(\lim_{n \to \infty} X \leq a+\frac{1}{n}) = P(X \leq a) = F_{X}(a)$

— Sextus Empiricus

@ Martin Weterings: É precisamente de onde vem. Qualquer medida válida deve satisfazer esses resultados de monotonicidade. Eles são uma conseqüência da delimitação de juntamente com a aditividade contável. Mais geralmente, uma função é um CDF (isto é, corresponde a alguma distribuição via se for contínuo à direita, além de monotônico e tendo deixado o limite 0, o limite direito 1.

P

$P$

P

$P$

F (x)

$F(x)$

P

$P$

F (b) - F (a) = P (a < X \leq b)

$F(b)-F(a)=P(a<X\leq b)$

F

$F$

— Alex R.

2

Acredito que agora deve estar claro que "a abordagem CLT" dá a resposta certa.

Vamos identificar exatamente onde a "abordagem LLN" dá errado.

Começando com as instruções finitas, fica claro que podemos subtrair de ambos os lados de maneira equivalente ou multiplicar ambos os lados por . Nós temos $\sqrt{n}$ $1/\sqrt{n}$

P (\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \leq \sqrt{n}) = P (\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - 1) \leq 0) = P (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \leq 1)

$\mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \sqrt{n}\right)=\mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n(X_i-1) \leq 0\right) = \mathbb{P}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^nX_i \leq 1\right)$

Portanto, se o limite existir, será idêntico. Definindo , temos, usando funções de distribuição $Z_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n(X_i-1)$

P (\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \leq \sqrt{n}) = F_{Z_{n}} (0) = F_{{\bar{X}}_{n}} (1)

$\mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \sqrt{n}\right)= F_{Z_n}(0) = F_{\bar X_n}(1)$

... e é verdade que . $\lim_{n\to \infty}F_{Z_n}(0)= \Phi(0) = 1/2$

O pensamento da "abordagem LLN" é o seguinte: "Sabemos pelo LLN que converge em probabilidade para uma constante. E também sabemos que" convergência em probabilidade implica convergência na distribuição ". Portanto, converge em distribuição para uma constante ". Até aqui estamos corretos. Em seguida, declaramos: "portanto, as probabilidades limitantes para são fornecidas pela função de distribuição da constante em variável aleatória", $\bar X_n$ $\bar X_n$
$\bar X_n$ $1$

F_{1} (x) = {\begin{cases} 1 x \geq 1 \\ 0 x < 1 \end{cases} ⟹ F_{1} (1) = 1

$F_1(x) = \cases {1 \;\;\;\;x\geq 1 \\ 0 \;\;\;\;x<1} \implies F_1(1) = 1$

... então ... $\lim_{n\to \infty} F_{\bar X_n}(1) = F_1(1) = 1$

... e nós cometemos nosso erro . Por quê? Porque, como @AlexR. resposta observada , "convergência na distribuição" abrange apenas os pontos de continuidade da função de distribuição limitadora. E é um ponto de descontinuidade para . Isso significa que pode ser igual a mas pode não ser , sem negar a implicação de "convergência na distribuição para uma constante" do LLN . $1$ $F_1$ $\lim_{n\to \infty} F_{\bar X_n}(1)$ $F_1(1)$

E, desde a abordagem CLT, sabemos qual deve ser o valor do limite ( ). Não sei como provar diretamente que . $1/2$ $\lim_{n\to \infty} F_{\bar X_n}(1) = 1/2$

Aprendemos algo novo?

Eu fiz. O LLN afirma que

lim_{n \to \infty} P (| {\bar{X}}_{n} - 1 | ⩽ ε) = 1 for all ε > 0

$\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \Big( |\bar{X}_n - 1| \leqslant \varepsilon \Big) = 1 \quad \quad \text{for all } \varepsilon > 0$

⟹ lim_{n \to \infty} [P (1 - ε < {\bar{X}}_{n} \leq 1) + P (1 < {\bar{X}}_{n} \leq 1 + ε)] = 1

$\implies \lim_{n \rightarrow \infty} \Big[ \mathbb{P} \Big( 1-\varepsilon <\bar{X}_n \leq 1\Big) + \mathbb{P} \Big( 1 <\bar{X}_n \leq 1+\varepsilon\Big)\Big] = 1$

⟹ lim_{n \to \infty} [P ({\bar{X}}_{n} \leq 1) + P (1 < {\bar{X}}_{n} \leq 1 + ε)] = 1

$\implies \lim_{n \rightarrow \infty} \Big[ \mathbb{P} \Big(\bar{X}_n \leq 1\Big) + \mathbb{P} \Big( 1 <\bar{X}_n \leq 1+\varepsilon\Big)\Big] = 1$

O LLN não diz como é a probabilidade alocada no intervalo . O que aprendi é que, nessa classe de resultados de convergência, a probabilidade está no limite alocado igualmente nos dois lados do ponto central do intervalo de colapso. $(1-\varepsilon, 1+\varepsilon)$

A declaração geral aqui é, assuma

X_{n} \to_{p} θ, h (n) (X_{n} - θ) \to_{d} D (0, V)

$X_n\to_p \theta,\;\;\; h(n)(X_n-\theta) \to_d D(0,V)$

onde é algum rv com a função de distribuição . Então $D$ $F_D$

lim_{n \to \infty} P [X_{n} \leq θ] = lim_{n \to \infty} P [h (n) (X_{n} - θ) \leq 0] = F_{D} (0)

$\lim_{n\to \infty} \mathbb P[X_n \leq \theta] = \lim_{n\to \infty}\mathbb P[h(n)(X_n-\theta) \leq 0] = F_D(0)$

... que pode não ser igual a (a função de distribuição da constante rv). $F_{\theta}(0)$

Além disso, este é um exemplo forte de que, quando a função de distribuição da variável aleatória limitadora possui descontinuidades, a "convergência na distribuição para uma variável aleatória" pode descrever uma situação em que "a distribuição limitadora" pode discordar da "distribuição da variável limitante". variável aleatória "nos pontos de descontinuidade. A rigor, a distribuição limitadora dos pontos de continuidade é a da variável aleatória constante. Para os pontos de descontinuidade, podemos calcular a probabilidade limitativa, como entidades "separadas".

— Alecos Papadopoulos
fonte

A perspectiva da 'lição aprendida' é interessante e este é um bom exemplo, não muito difícil, para aplicação didática. Embora eu me pergunto que tipo de aplicação prática (direta) este pensamento sobre o infinito tem, porque, eventualmente, na prática

n \neq \infty

$n \neq \infty$

— Sexto Empírico

@MartijnWeterings Martijn, a motivação aqui foi certamente educacional: a) como um alerta para descontinuidades, mesmo em uma situação "plana" como a convergência para uma constante, e também em geral (elas destroem a convergência uniforme, por exemplo) eb) um resultado sobre como a massa de probabilidade é alocada se torna interessante quando a sequência que converge em probabilidade para uma constante ainda tem uma variação diferente de zero.

— Alecos Papadopoulos

Poderíamos dizer que o CLT digamos algo sobre convergência para uma variável distribuída normal limitante (podendo assim expressar coisas como ), mas o LLN apenas nos permite dizer que, aumentando o tamanho da amostra, nos aproximamos à média verdadeira, mas isso não significa que obtemos, com maior probabilidade, 'exatamente igual à média da amostra'. LLN significa que a média da amostra se aproxima cada vez mais de um valor limite, mas não (com maior probabilidade) igual a ele. O LLN não diz nada sobre

F (x)

$F(x)$

F (x)

$F(x)$

— Sextus Empiricus 26/06

Os pensamentos originais em torno do LLN eram realmente opostos (consulte o raciocínio de Arbuthnot stats.stackexchange.com/questions/343268 ). "É visível pelo que foi dito que, com um número muito grande de dados, o lote de A se tornaria muito pequeno ... haveria apenas uma pequena parte de todas as possibilidades possíveis, para que aconteçam a qualquer momento atribuível, que um número igual de homens e mulheres deve nascer ".

— Sextus Empiricus