Distribuição normal

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Infelizmente, há um problema estatístico. Eu não tenho idéia por onde começar (estou estudando por conta própria, para que não haja ninguém que eu possa perguntar, se eu não entender alguma coisa.

A questão é

$X,Y$ Yid $N(a,b^2); a=0; b^2=6; var(X^2+Y^2)=?$

self-study normal-distribution random-variable

— Ang
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Como você está lidando com dados normais do IID, vale a pena generalizar um pouco o problema para analisar o caso em que você possui e deseja . (Sua pergunta corresponde ao caso em que ) Como outros usuários apontaram, a soma dos quadrados das variáveis aleatórias normais do IID é uma variável aleatória qui-quadrado não centralizada em escala e, portanto, a variação de interesse pode ser obtida do conhecimento dessa distribuição. No entanto, também é possível obter a variação necessária usando regras ordinárias de momento, combinadas com o conhecimento dos momentos da distribuição normal . Vou mostrar como fazer isso abaixo, em etapas. $X_1, ..., X_n \sim \text{IID N}(a, b^2)$ $Q_n \equiv \mathbb{V}(\sum_{i=1}^n X_i^2)$ $n=2$

Localizando a variação usando momentos da distribuição normal: Como os valores são IID (e considerando como um valor genérico dessa distribuição), você tem: em que momentos brutos como . Esses momentos brutos podem ser escritos em termos dos momentos centrais e a média usando $X_1, ..., X_n$ $X$
$\begin{aligned} Q_{n} \equiv V (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}) & = \sum_{i = 1}^{n} V (X_{i}^{2}) \\ = n V (X^{2}) \\ = n (E (X^{4}) - E (X^{2})^{2}) \\ = n (μ_{4}^{'} - μ_{2}^{' 2}), \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= \sum_{i=1}^n \mathbb{V}(X_i^2) \\[6pt]&= n\mathbb{V}(X^2) \\[6pt]&= n(\mathbb{E}(X^4) - \mathbb{E}(X^2)^2) \\[6pt]&= n(\mu_4' - \mu_2'^2), \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $\mu_k' \equiv \mathbb{E}(X^k)$ $\mu_k \equiv \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^k)$ $\mu_1' = \mathbb{E}(X)$ fórmulas de conversão padrão , e podemos procurar os momentos centrais da distribuição normal e substituí-los.

Usando as fórmulas de conversão de momento, você deve obter: Para a distribuição , temos e momentos centrais de ordem superior , e . Isso nos dá os momentos brutos:
$\begin{aligned} μ_{2}^{'} & = μ_{2} + μ_{1}^{' 2}, \\ μ_{3}^{'} & = μ_{3} + 3 μ_{1}^{'} μ_{2} + μ_{1}^{' 3}, \\ μ_{4}^{'} & = μ_{4} + 4 μ_{1}^{'} μ_{3} + 6 μ_{1}^{' 2} μ_{2} + μ_{1}^{' 4} . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= \mu_2 + \mu_1'^2, \\[6pt]\mu_3' &= \mu_3 + 3 \mu_1' \mu_2 + \mu_1'^3, \\[6pt]\mu_4' &= \mu_4 + 4 \mu_1' \mu_3 + 6 \mu_1'^2 \mu_2 + \mu_1'^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $X \sim \text{N}(a,b^2)$ $\mu_1' = a$ $\mu_2 = b^2$ $\mu_3 = 0$ $\mu_4 = 3 b^4$ $\begin{aligned} μ_{2}^{'} & = b^{2} + a^{2}, \\ μ_{3}^{'} & = 3 a b^{2} + a^{3}, \\ μ_{4}^{'} & = 3 b^{4} + 6 a^{2} b^{2} + a^{4} . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= b^2 + a^2, \\[6pt]\mu_3' &= 3 a b^2 + a^3, \\[6pt]\mu_4' &= 3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ Agora, tente substituí-los novamente na expressão original para encontrar a variação de interesse.

Substituindo de volta a primeira expressão, obtemos: Para o caso especial em que você tem . Pode-se mostrar que esse resultado está de acordo com a solução que você obteria se usasse o método alternativo de derivar seu resultado da distribuição qui-quadrado não central em escala.
$\begin{aligned} Q_{n} & = n (μ_{4}^{'} - μ_{2}^{' 2}) \\ = n [(3 b^{4} + 6 a^{2} b^{2} + a^{4}) - (b^{2} + a^{2})^{2}] \\ = n [(3 b^{4} + 6 a^{2} b^{2} + a^{4}) - (b^{4} + 2 a^{2} b^{2} + a^{4})] \\ = n [2 b^{4} + 4 a^{2} b^{2}] \\ = 2 n b^{2} (b^{2} + 2 a^{2}) . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n &= n(\mu_4' - \mu_2'^2) \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^2 + a^2)^2] \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^4 + 2 a^2 b^2 + a^4)] \\[6pt]&= n[2 b^4 + 4 a^2 b^2] \\[6pt]&= 2nb^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $n=2$ $Q_2 = 4b^2 (b^2 + 2a^2)$

Trabalho alternativo baseado no uso da distribuição qui-quadrado não central: Como , temos:Usando a variação conhecida dessa distribuição, temos: Este resultado corresponde ao resultado acima. $X_i / b \sim \text{N}(a/b, 1)$
$\sum_{i = 1}^{n} (\frac{X_{i}}{b})^{2} \sim Non-central Chi-Sq (k = n, λ = \frac{n a^{2}}{b^{2}}) .$ $\sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \sim \text{Non-central Chi-Sq}\Big( k=n, \lambda= \frac{n a^2}{b^2} \Big).$ $\begin{aligned} Q_{n} \equiv V (\sum_{Eu = 1 1}^{n} X_{Eu}^{2}) & = b^{4} \cdot V (\sum_{Eu = 1 1}^{n} (\frac{X_{Eu}}{b})^{2}) \\ = b^{4} \cdot 2 (k + 2 λ) \\ = 2 b^{4} (n + 2 \frac{n {uma}^{2}}{b^{2}}) \\ = 2 n b^{2} (b^{2} + 2 {uma}^{2}) . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= b^4 \cdot \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \Big) \\[6pt]&= b^4 \cdot 2(k+2 \lambda) \\[6pt]&= 2 b^4 \Big( n + 2 \frac{na^2}{b^2} \Big) \\[6pt]&= 2 n b^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$

— Ben - Restabelecer Monica
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Tags de spoiler são desnecessárias e perturbadoras.

— Alexis

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Se e são variáveis aleatórias independentes, então é uma variável aleatória . $X$ $Y$ $\text{N} (a, b^2)$ $\left( \frac{X - a}{b} \right)^2 + \left( \frac{Y - a}{b} \right)^2$ $\chi ^2(2)$

Você acha que pode levá-lo de lá?

— SOULed_Outt
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A resposta está na distribuição qui-quadrado não central .

Por exemplo, se b = 1, a resposta para sua pergunta é: , onde é o número de componentes ( e ). $2(k + 2(a^2))$ $k=2$ $X$ $Y$

— idnavid
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