Intuição (geométrica ou outra) de

Em outra parcela de intuições para identidades em probabilidade, considere a identidade elementar Lei da Variância Total

\begin{array}{rcl} V a r (X) & = & E [V a r (X | Y)] + V a r (E [X | Y]) \end{array}

$\begin{eqnarray} \rm{Var}(X) &=&\rm{E}[\rm{Var}(X|Y)] + \rm{Var}(E[X|Y]) \end{eqnarray}$

É uma manipulação algébrica ~~simples e~~ direta da definição de momentos em soma, ou, como no link da Wikipedia, através da manipulação de E e Var.

Mas essa identidade, não tenho ideia do que isso significa . Suponho que isso signifique que você possa calcular a variação de uma variável usando outra variável para ajudar, mas não parece que simplifique as coisas ou as torne mais tratáveis.

A página wiki diz

o primeiro componente é chamado o valor esperado da variação do processo (EVPV) e o segundo é chamado a variação dos meios hipotéticos (VHM)

o que é tão esclarecedor quanto a leitura de nomes pode ser.

Então, o que isso realmente significa ? Existe uma intuição sobre as duas partes? Você precisa de uma intuição de primeiro? Uma intuição geométrica pode ser boa, mas também uma explicação detalhada, pequena álgebra, ajudaria imensamente. $E[E[X|Y]] = E[X]$

Existem boas interpretações de álgebra linear ou interpretações físicas ou outras que dariam informações sobre essa identidade?

variance intuition

— Mitch
fonte

mas não parece que simplifica as coisas ou as torna mais tratáveis - é útil basicamente em qualquer caso em que exista um

auxiliar que torne

mais fácil de pensar do que apenas o próprio

Por exemplo, pegue

Y

$Y$

X ∣ Y

$X \mid Y$

X

$X$

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb E}\DeclareMathOperator{\Var}{Var}$

; então

X ∣ Y \sim N (Y, Y σ^{2})

$X \mid Y \sim \mathcal{N}(Y, Y \sigma^2)$

Y \sim B i n o m i a l (n, p)

$Y \sim \mathrm{Binomial}(n, p)$

Tentar calcular isso diretamente teria sido muito menos direto.

\begin{matrix} E [Var (X ∣ Y)] = E [Y σ^{2}] = n p σ^{2} \\ Var (E [X ∣ Y]) = Var (Y) = n p (1 - p) . \end{matrix}

$\begin{gather}\E[\Var(X \mid Y)] = \E[Y \sigma^2] = n p \sigma^2 \\ \Var(\E[X \mid Y]) = \Var(Y) = n p (1-p).\end{gather}$

— Dougal

related: stats.stackexchange.com/questions/71620/...

— Taylor

Para obter alguma intuição simples, compararemos com uma análise de variância bidirecional. Deixe- onde o são iid com expectativa zero e variância comum , . $Y_{ij} = \mu_i +\epsilon_{ij}$ $\epsilon_{ij}$ $\sigma^2$ $i=1,\dotsc,k; j=1,\dotsc,n_i$

\sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{n_{i}} (Y_{i j} - \bar{\bar{Y}})^{2} = \sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{n_{i}} (Y_{i j} - \bar{Y_{i}})^{2} + \sum_{i = 1}^{k} n_{i} ((\bar{Y_{i}} - \bar{\bar{Y}})^{2}

$\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i} (Y_{ij}-\overline{\overline{Y}})^2 = \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i} (Y_{ij}-\overline{Y_i})^2 + \sum_{i=1}^k n_i((\overline{Y_{i}}-\overline{\overline{Y}})^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ_{i}

$\mu_i$

μ_{i}

$\mu_i$

$G$

V a r Y = E V a r (Y | G) + V a r E (Y | G)

$Var Y = E Var (Y | G) + Var E (Y | G)$

Y

$Y$ Lei da variância total como teorema de Pitágoras

— kjetil b halvorsen
fonte

Meu hack do mathjax para obter linhas duplas não funciona muito bem. Idéias para melhorar?

— Kjetil b halvorsen

X

$X$

Y

$Y$

\bar{\bar{X}}

$\overline{\overline{X}}$