Limites da diferença de variáveis ​​aleatórias correlacionadas


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Dadas duas variáveis ​​aleatórias altamente correlacionadas X e Y , gostaria de limitar a probabilidade de que a diferença |XY|excede alguma quantidade:

P(|XY|>K)<δ

Suponha por simplicidade que:

  • Sabe-se que o coeficiente de correlação é "alto", digamos: ρX,Y=covumar(X,Y)/σXσY1 1-ϵ

  • X,Y são zero média:μx=μy=0 0

  • -1 1xEu,yEu1 1 (ou 0 0xEu,yEu1 1 se for mais fácil)

  • (Se isso facilitar as coisas, digamos que tenham variação idêntica: σ 2 X = σ 2 Y )X,YσX2=σY2

Não tenho certeza de quão viável é derivar um limite para a diferença, dada apenas as informações acima (eu certamente não consegui chegar a lugar nenhum). Uma solução específica (se houver), restrições adicionais obrigatórias a serem impostas às distribuições ou apenas aconselhamento sobre uma abordagem seria ótima.

Respostas:


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Mesmo sem essas suposições simplificadoras, é possível obter um limite combinando algumas das ferramentas usuais:

Em alguns detalhes:

σX-Y2=σX2+σY2-2·cov(X,Y)

cov(X,Y)=σX·σY·ρXY

σX-Y2=σX2+σY2-2·σX·σY·ρX,Y

De acordo com a desigualdade de Chebyshev, para qualquer variável aleatória :Z

Pr(|Z-μ|kσ)1 1k2

Então (e usando esse :μX-Y=μX-μY)

Pr(|X-Y-μX+μY|k·σX2+σY2-2·σX·σY·ρX,Y)1 1k2

Podemos usar as suposições simplificadoras propostas para obter uma expressão mais simples. Quando:

ρX,Y=covumar(X,Y)/σXσY=1 1-ϵ
μx=μy=0 0
σX2=σY2=σ2

Então:

σX2+σY2-2·σX·σY·ρX,Y=2·σ2·(1 1-(1 1-ϵ))=2σ2ϵ

E portanto:

Pr(|X-Y|k·σ2ϵ)1 1k2

ϵ=1 1-ϵ1 1-ϵ

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