Limites da diferença de variáveis aleatórias correlacionadas

Dadas duas variáveis aleatórias altamente correlacionadas $X$ e $Y$ , gostaria de limitar a probabilidade de que a diferença $|X - Y|$ excede alguma quantidade:

P (| X - Y | > K) < δ

$P( |X - Y| > K) < \delta$

Suponha por simplicidade que:

Sabe-se que o coeficiente de correlação é "alto", digamos: $\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} \geq 1 - \epsilon$
$X,Y$ são zero média: $\mu_x = \mu_y = 0$
$-1 \leq x_i, y_i \leq 1$ (ou $0 \leq x_i, y_i \leq 1$ se for mais fácil)
(Se isso facilitar as coisas, digamos que tenham variação idêntica: ) $X,Y$ $\sigma_X^2 = \sigma_Y^2$

Não tenho certeza de quão viável é derivar um limite para a diferença, dada apenas as informações acima (eu certamente não consegui chegar a lugar nenhum). Uma solução específica (se houver), restrições adicionais obrigatórias a serem impostas às distribuições ou apenas aconselhamento sobre uma abordagem seria ótima.

correlation mathematical-statistics bounds

— Avanti89
fonte

Mesmo sem essas suposições simplificadoras, é possível obter um limite combinando algumas das ferramentas usuais:

A variância da diferença de duas variáveis correlacionadas . Isso nos permite transformar um problema de duas variáveis em um problema univariado.
Desigualdade de Chebyshev . Isso limita a probabilidade de exceder um determinado valor.

Em alguns detalhes:

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot c o v (X, Y)

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·cov(X,Y)$

c o v (X, Y) = σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X Y}

$cov(X,Y)=\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{XY}$

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}$

De acordo com a desigualdade de Chebyshev, para qualquer variável aleatória : $Z$

Pr (| Z - μ | \geq k σ) \leq \frac{1 1}{k^{2}}

$\Pr(|Z-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

Então (e usando esse : $\mu_{X-Y}=\mu_X-\mu_Y)$

Pr (| X - Y - μ_{X} + μ_{Y} | \geq k \cdot \sqrt{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}}) \leq \frac{1 1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y-\mu_X+\mu_Y|\geq k·\sqrt{\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}}) \leq \frac{1}{k^2}$

Podemos usar as suposições simplificadoras propostas para obter uma expressão mais simples. Quando:

ρ_{X, Y} = c o v uma r (X, Y) / σ_{X} σ_{Y} = 1 1 - ϵ

$\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} = 1 - \epsilon$

μ_{x} = μ_{y} = 0 0

$\mu_x = \mu_y = 0$

σ_{X}^{2} = σ_{Y}^{2} = σ^{2}

$\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \sigma^2$

Então:

σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y} = 2 \cdot σ^{2} \cdot (1 1 - (1 1 - ϵ)) = 2 σ^{2} ϵ

$\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y} = 2·\sigma^2·(1-(1-\epsilon)) = 2\sigma^2\epsilon$

E portanto:

Pr (| X - Y | \geq k \cdot σ \sqrt{2 ϵ}) \leq \frac{1 1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y|\geq k·\sigma\sqrt{2\epsilon}) \leq \frac{1}{k^2}$

$\epsilon$ $=1-\epsilon$ $\geq 1-\epsilon$

— Pere
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