Escrevendo AR (1) como um processo MA ( )

7

O processo AR (1) é

$X_{t} = ϕ X_{t - 1} + ε_{t}$ $X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t$

se usarmos essa fórmula recursivamente, obteremos

X_{t} = ϕ (ϕ X_{t - 2} + ε_{t - 1}) + ε_{t} = ϕ^{2} X_{t - 2} + ϕ ε_{t - 1} + ε_{t} = \dots = ϕ^{k} X_{t - k} + \sum_{j = 0}^{k} ϕ^{j} ε_{t - j}

$X_t = \phi(\phi X_{t-2} + \varepsilon_{t-1}) + \varepsilon_t = \phi^2X_{t-2} + \phi\varepsilon_{t-1} + \varepsilon_t = \cdots = \phi^k X_{t-k} + \sum_{j=0}^k \phi^j\varepsilon_{t-j}$

Se deixarmos $k\to\infty$ , obteremos

X_{t} = lim_{k \to \infty} (ϕ^{k} X_{t - k} + \sum_{j = 0}^{k} ϕ^{j} ε_{t - j}) = lim_{k \to \infty} (ϕ^{k} X_{t - k}) + \sum_{j = 0}^{\infty} ϕ^{j} ε_{t - j}

$X_t = \lim_{k\to\infty}(\phi^k X_{t-k} + \sum_{j=0}^k \phi^j\varepsilon_{t-j}) = \lim_{k\to\infty}(\phi^k X_{t-k}) + \sum_{j=0}^\infty \phi^j\varepsilon_{t-j}$ A dualidade entre AR (1) e MA (

\infty

$\infty$ ) afirma que existe uma equivalência entre os dois e que podemos escrever

X_{t}

$X_t$ como

$X_{t} = \sum_{j = 0}^{\infty} ϕ^{j} ε_{t - j}$ $X_t = \sum_{j=0}^\infty \phi^j\varepsilon_{t-j}$

A diferença entre os dois resultados é o termo $\lim_{k\to\infty}(\phi^k X_{t-k})$ , que deve ser zero, mas como mostro isso?

Assumindo $|\phi| < 1$ , temos $\lim_{k\to\infty}\phi^k = 0$ , é claro, mas não vejo por que $\lim_{k\to\infty} X_{t-k} < \infty$ ? A convergência supõe a lei dos grandes números ou existe outra maneira de mostrar equivalência?

Eu sei que há uma prova que inverte o operador de atraso $1-B$ , mas não encontrei nenhuma justificativa para o motivo de o operador poder ser invertido, então eu queria uma prova alternativa, como a acima.

— Frank Vel
fonte

11

Existem alguns problemas com seus índices - as somas devem começar em e, em seguida, deve ser , não .

j = 0

$j=0$

ϵ_{t - j}

$\epsilon_{t-j}$

ϵ_{t - k}

$\epsilon_{t-k}$

— Christoph Hanck

4

O sentido usual em que a convergência é entendida neste caso é no quadrado médio :

E [Y_{t} - (ϵ_{t} + ϕ ϵ_{t - 1} + ϕ^{2} ϵ_{t - 2} + \dots + ϕ^{j} ϵ_{t - j})]^{2} = ϕ^{2 (j + 1)} E [Y_{t - j - 1}]^{2}

$E[Y_t-(\epsilon_t+\phi\epsilon_{t-1}+\phi^2\epsilon_{t-2} +\ldots+\phi^j\epsilon_{t-j})]^2=\phi^{2(j+1)} E[Y_{t-j-1}]^2$ Se estiver estacionário Portanto,

Y_{t}

$Y_t$

E [Y_{t - j - 1}]^{2} = γ_{0} + μ^{2}

$E[Y_{t-j-1}]^2=\gamma_0+\mu^2$

lim_{j \to \infty} E [Y_{t} - (ϵ_{t} + ϕ ϵ_{t - 1} + ϕ^{2} ϵ_{t - 2} + \dots + ϕ^{j} ϵ_{t - j})]^{2} = 0

$\lim_{j\to\infty}E[Y_t-(\epsilon_t+\phi\epsilon_{t-1}+\phi^2\epsilon_{t-2} +\ldots+\phi^j\epsilon_{t-j})]^2=0$

— Christoph Hanck
fonte

Portanto, a lei fraca de grandes números, ou seja, ?

lim_{j \to \infty} E (ϕ^{j} X_{t - j})^{2} = 0

$\lim_{j\to\infty} E(\phi^j X_{t-j})^2 = 0$

— 22818 Frank Vel

11

O WLLN geralmente se refere ao tamanho da amostra indo para o infinito, enquanto nessa situação, o número de defasagens vai para o infinito. Eu o leio dizendo que a média da diferença quadrática desaparece.

— Christoph Hanck

1

Você tem razão em suspeitar dessa etapa e, de fato, sem outras suposições para limitar o tamanho de não é possível obter o formulário necessário. Lembre-se de que a equação recursiva para o modelo de RA é insuficiente para produzir a distribuição conjunta do processo. (Você precisa impor uma distribuição para o processo de erro e, mesmo assim, impor estacionariedade ou especificar uma distribuição inicial que leve a algum modelo não estacionário.) Se você tiver apenas essa equação recursiva, não há razão para que os valores das séries temporais não puderam explodir em valores grandes como . $X_{-\infty}$ $t \rightarrow -\infty$

Por exemplo, o processo determinístico de RA não estacionário satisfaz a equação recursiva que você especificou (com zero de erros) e, nesse caso, você tem . Nesse modelo, para qualquer você também tem: $X_t = \phi^t$ $\lim_{k \rightarrow \infty} X_{t-k} = \infty$ $\phi \neq 0$

ϕ^{k} X_{t - k} = ϕ^{k} ϕ^{t - k} = ϕ^{t} \neq 0.

$\phi^k X_{t-k} = \phi^k \phi^{t-k} = \phi^t \neq 0.$

Como os erros são zero neste modelo determinístico, isso fornece o resultado limitante:

X_{t} = \underset{0}{\underset{⏟}{\sum_{k = 0}^{\infty} ϕ^{k} ε_{t - k}}} + \underset{ϕ^{t}}{\underset{⏟}{lim_{k \to \infty} ϕ^{k} X_{t - k}}} .

$X_t = \underbrace{\sum_{k=0}^\infty \phi^k \varepsilon_{t-k}}_{0} + \underbrace{\lim_{k \rightarrow \infty} \phi^k X_{t-k}}_{\phi^t}. \\[6pt]$

Claramente, nesse caso, o prazo limite é diferente de zero e não pode ser removido do resultado. Se você deseja remover esse último termo, é necessário adicionar mais suposições ao seu modelo (por exemplo, estacionariedade).

— Ben - Restabelecer Monica
fonte