Resolvendo uma equação integral simples por amostragem aleatória

Seja uma função não negativa. Eu estou interessada em encontrar , tal que A ressalva : tudo o que posso fazer é provar em pontos em . Posso, no entanto, escolher os locais onde eu amostra aleatoriamente, se eu assim o desejarem. z ∈ [ 0 , 1 ] ∫ z 0 f ( x $f$$z \in [0,1]$f [ 0 , 1 ]

$$\int_0^{z} f(x)\,dx = \frac{1}{2}\int_0^1 f(x)\,dx$$ $f$$[0,1]$$f$

Questões:

1. É possível obter uma estimativa imparcial de após muitas amostras finitas? Em caso afirmativo, qual é a menor variação possível dessa estimativa após amostras?$z$$k$
2. Caso contrário, quais procedimentos estão disponíveis para estimar e quais são seus tempos de convergência associados.$z$

Conforme apontado por Douglas Zare nos comentários, isso pode ser muito difícil se a função for próxima de zero ou muito grande. Felizmente, a função para a qual eu preciso usar isso é delimitada por cima e por baixo, então vamos supor que . Além disso, também podemos assumir que é Lipschitz ou mesmo diferenciável, se isso ajudar.$1 \leq f(x) \leq 2$$f$

Como o cardeal apontou em seu comentário, sua pergunta pode ser reafirmada da seguinte forma.

Por álgebra simples, a equação integral pode ser reescrita como na qual é a função de densidade de probabilidade definida como g g ( x ) = f ( x

$$\int_0^z g(x)\,dx = \frac{1}{2} \, ,$$ $g$ $$g(x)=\frac{f(x)}{\int_0^1 f(t)\,dt} \, .$$

Seja uma variável aleatória com densidade . Por definição, , portanto sua equação integral é equivalente a o que significa que o seu problema pode ser declarado como:$X$$g$$P\{X\leq z\}=\int_0^z g(x)\,dx$

$$P\{X\leq z\}=\frac{1}{2} \, ,$$

"Seja uma variável aleatória com densidade . Encontre a mediana de ".$X$$g$$X$

Para estimar a mediana de , use qualquer método de simulação para desenhar uma amostra dos valores de e tome como estimativa a mediana da amostra.$X$$X$

Uma possibilidade é usar o algoritmo Metropolis-Hastings para obter uma amostra de pontos com a distribuição desejada. Devido à expressão da probabilidade de aceitação no algoritmo Metropolis-Hastings, não precisamos saber o valor da constante de normalização da densidade . Portanto, não precisamos fazer essa integração.$\int_0^1 f(t)\,dt$$g$

O código abaixo usa uma forma particularmente simples do algoritmo Metropolis-Hastings conhecido como Indepence Sampler, que usa uma proposta cuja distribuição não depende do valor atual da cadeia. Eu usei propostas uniformes independentes. Para comparação, o script gera o mínimo de Monte Carlo e o resultado encontrado com a otimização padrão. Os pontos de amostra são armazenados no vetor chain, mas descartamos os primeiros pontos que formam o chamado período de "queima em" da simulação.$10000$

BURN_IN = 10000
DRAWS   = 100000

f = function(x) exp(sin(x))

chain = numeric(BURN_IN + DRAWS)

x = 1/2

for (i in 1:(BURN_IN + DRAWS)) {
    y = runif(1) # proposal
    if (runif(1) < min(1, f(y)/f(x))) x = y
    chain[i] = x
}

x_min = median(chain[BURN_IN : (BURN_IN + DRAWS)])

cat("Metropolis minimum found at", x_min, "\n\n")

# MONTE CARLO ENDS HERE. The integrations bellow are just to check the results.

A = integrate(f, 0, 1)$value

F = function(x) (abs(integrate(f, 0, x)$value - A/2))

cat("Optimize minimum found at", optimize(F, c(0, 1))$minimum, "\n")

Aqui estão alguns resultados:

Metropolis minimum found at 0.6005409 
Optimize minimum found at 0.601365

Esse código é apenas um ponto de partida para o que você realmente precisa. Portanto, use com cuidado.

A qualidade da aproximação integral, pelo menos no caso tão simples quanto 1D, é dada por (Teorema 2.10 em Niederreiter (1992) ): onde é o módulo de continuidade da função (relacionado à variação total e facilmente expressável para as funções de Lipshitz) e é a discrepância (extrema) ou a diferença máxima entre a fração de pela sequência

$$\Bigl|\frac 1N \sum_{n=1}^N f(x_n) - \int_0^1 f(u) \, {\rm d}u \Bigr| \le \omega (f; D_N^*(x_1, \ldots, x_N) )$$ $$\omega(f;t) = \sup \{ |f(u)-f(v)| : u, v \in [0,1], |u-v|\le t , t>0\}$$ $$D_N^*(x_1,\ldots,x_N) = \sup_u \Bigl| \frac1N \sum_n 1\bigl\{ x_n \in [0,u) \bigr\} - u \Bigr| = \frac1{2N} + \max_n \Bigl|x_n - \frac{2n-1}{2N}\Bigr|$$ $x_1, \ldots, x_N$de um intervalo semiaberto e sua medida de Lebesgue . A primeira expressão é a definição e a segunda expressão é a propriedade das seqüências 1D em (Teorema 2.6 no mesmo livro).$[0,u)$$u$$[0,1]$

Então, obviamente, para minimizar o erro na aproximação integral, pelo menos no RHS da sua equação, você precisa tomar . Dane-se as avaliações aleatórias, elas correm o risco de ter uma lacuna aleatória em uma característica importante da função.$x_n = (2n-1)/2N$

Uma grande desvantagem dessa abordagem é que você precisa se comprometer com um valor de para produzir essa sequência uniformemente distribuída. Se você não estiver satisfeito com a qualidade da aproximação que ela fornece, tudo o que você pode fazer é dobrar o valor de e atingir todos os pontos médios dos intervalos criados anteriormente.$N$$N$

Se você deseja ter uma solução em que possa aumentar o número de pontos mais gradualmente, continue lendo esse livro e aprenda sobre as seqüências de van der Corput e inversões radicais. Veja Seqüências de baixa discrepância na Wikipedia, ele fornece todos os detalhes.

Atualização: para resolver para , defina a soma parcial Encontre modo que e interpole para encontrar Essa interpolação assume que é contínuo. Se adicionalmente for duas vezes diferenciável, essa aproximação integrará a expansão de segunda ordem para incorporar e e resolver uma equação cúbica para .$z$

$$S_k = \frac1N \sum_{n=1}^k f\Bigl( \frac{2n-1}{2N} \Bigr).$$ $k$zN=2k- $$S_k \le \frac12 S_N < S_{k+1},$$ f(⋅)f(⋅)Sk-1Sk+2 $$z_N = \frac{2k-1}{2N} + \frac{S_N/2 - S_k}{N(S_{k+1}-S_k)}.$$ $f(\cdot)$$f(\cdot)$$S_{k-1}$$S_{k+2}$$z$