Funções características podem facilitar a computação envolvendo somas e diferenças de variáveis aleatórias . O Mathematica tem muitas funções para trabalhar com distribuições estatísticas, incluindo um built-in para transformar uma distribuição em sua função característica.
Gostaria de ilustrar isso com dois exemplos concretos: (1) Suponha que você queira determinar os resultados de rolar uma coleção de dados com diferentes números de lados, por exemplo, rolar dois dados de seis lados mais um dado de oito lados (ou seja, , 2d6 + d8 )? Ou (2) suponha que você queira encontrar a diferença de dois lançamentos de dados (por exemplo, d6-d6 )?
Uma maneira fácil de fazer isso seria usar as funções características das distribuições uniformes discretas subjacentes. Se uma variável aleatória tem uma função de massa de probabilidade , então sua função característica é apenas a Transformada de Fourier discreta de , ou seja, . Um teorema nos diz:X fφX(t)fφX(t)=F{f}(t)=E[eitX]
Se as variáveis aleatórias independentes e têm funções de massa de probabilidade correspondentes e , então o pmf da soma desses RVs é a convolução de seus pmfs .XYfghX+Yh(n)=(f∗g)(n)=∑∞m=−∞f(m)g(n−m)
Podemos usar a propriedade de convolução das transformadas de Fourier para reafirmar isso mais simplesmente em termos de funções características:
A função característica da soma das variáveis aleatórias independentes e é igual ao produto de suas funções características .φX+Y(t)XYφX(t)φY(t)
Essa função do Mathematica fará a função característica de um dado de face:
MakeCf [s_]: =
Módulo [{Cf},
Cf: = CharacteristicFunction [DiscreteUniformDistribution [{1, s}],
t];
Cf]
O pmf de uma distribuição pode ser recuperado de sua função característica, porque as transformadas de Fourier são invertíveis. Aqui está o código do Mathematica para fazer isso:
RecoverPmf [Cf_]: =
Módulo [{F},
F [y_]: = Coeficiente de série [Cf /. t -> -I * Log [x], {x, 0, y}];
F]
Continuando nosso exemplo, seja F o pmf resultante de 2d6 + d8.
F := RecoverPmf[MakeCf[6]^2 MakeCf[8]]
Existem resultados. O domínio de suporte de F é . Três é o mínimo, porque você está jogando três dados. E vinte é o máximo porque . Se você quiser ver a imagem de F, calcule62⋅8=288S={3,…,20}20=2⋅6+8
In: = Intervalo F / @ [3, 20]
Saída = {1/288, 1/96, 1/48, 5/144, 5/96, 7/96, 13/144, 5/48, 1/9, 1/9, \
5/48, 13/144, 7/96, 5/96, 5/144, 1/48, 1/96, 1/288}
Se você quiser saber o número de resultados que somam 10, calcule
Em: = 6 ^ 2 8 F [10]
Out = 30
Se as variáveis aleatórias independentes e têm funções de massa de probabilidade correspondentes e , então o pmf da diferença desses RVs é a correlação cruzada de seus pmfs .XYfghX−Yh(n)=(f⋆g)(n)=∑∞m=−∞f(m)g(n+m)
Podemos usar a propriedade de correlação cruzada das transformadas de Fourier para reafirmar isso mais simplesmente em termos de funções características:
A função característica da diferença de duas variáveis aleatórias independentes é igual ao produto da função característica e ( NB o sinal negativo na frente da variável t na segunda função característica).φX−Y(t)X,YφX(t)φY(−t)
Portanto, usando o Mathematica para encontrar o pmf G de d6-d6:
G := RecoverPmf[MakeCf[6] (MakeCf[6] /. t -> -t)]
Existem resultados. O domínio de suporte de G é . -5 é o mínimo porque . E 5 é o máximo porque . Se você quiser ver a imagem de G, calcule62=36S={−5,…,5}−5=1−66−1=5
Em: = Intervalo G / @ [-5, 5]
Saída = {1/36, 1/18, 1/12, 1/9, 5/36, 1/6, 5/36, 1/9, 1/12, 1/18, 1/36}