Para que problema ou jogo são as soluções ideais de variação e desvio padrão?

Para uma dada variável aleatória (ou uma população, ou um processo estocástico), a expectativa matemática é a resposta a uma pergunta. Que previsão pontual minimiza a perda quadrada esperada? . Além disso, é a solução ideal para um jogo. Adivinhe a próxima realização de uma variável aleatória (ou um novo sorteio de uma população), e eu o punirei pela distância ao quadrado entre o valor e o seu palpite, se você tiver desutilidade linear em termos de do castigo. A mediana é a resposta para uma pergunta correspondente sob perda absoluta e o modo é a resposta sob perda "tudo ou nada".

Perguntas: A variação e o desvio padrão respondem a perguntas semelhantes? O que eles são?

A motivação para esta pergunta decorre do ensino de medidas básicas de tendência e disseminação centrais. Enquanto as medidas de tendência central podem ser motivadas pelos problemas teóricos da decisão acima, pergunto-me como alguém poderia motivar as medidas de propagação.

— Richard Hardy
fonte

Pergunta muito interessante. Minha abordagem inicial seria que o "jogo" é qualitativamente o mesmo que você já descreve, exceto que a pergunta espera (sem trocadilhos) que a resposta seja sobre uma faixa de valores em vez de um ponto, uma vez que se espalhou sem um ponto de partida. A referência é uma informação incompleta (se não sem sentido).

— Emil

Note que a variação é em si uma expectativa - se então .

Y = (X - μ)^{2}

$Y=(X-\mu)^2$

Var (X) = E (Y)

$\text{Var}(X)=E(Y)$

— Glen_b -Reinstala Monica

@Glen_b, você está certo, e eu entendi (eu deveria ter incluído isso no texto da pergunta). "Acho que a diferença entre o próximo valor e a expectativa e eu vou puni-lo quadraticamente" seria o jogo. Isso é o melhor que existe? Não parece um jogo muito prático ou muito divertido, IMHO.

— Richard Hardy

Se entendi a pergunta como pretendida, você tem em mente uma configuração na qual é possível obter realizações independentes de qualquer variável aleatória com qualquer distribuição (com variação finita ). O "jogo" é determinada por funções e a ser descrito. Consiste nas seguintes etapas e regras: $X$ $F$ $\sigma^2(F)$ $h$ $\mathcal L$

Seu oponente ("Natureza") revela $F.$
Em resposta, você produz um número sua "previsão". $t(F),$

Para avaliar o resultado do jogo, os seguintes cálculos são realizados:

Uma amostra de iid observações é extraída de $n$ $\mathbf{X}=X_1, X_2, \ldots, X_n$ $F.$
Uma função predeterminada é aplicada à amostra, produzindo um número a "estatística". $h$ $h(\mathbf{X}),$
A "função de perda" compara sua "previsão" com a estatística produzindo um número não negativo $\mathcal{L}$ $t(F)$ $h(\mathbf{X}),$ $\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X})).$
O resultado do jogo é a perda esperada (ou "risco")
$R_{(L, h)} (t, F) = E (L (t (F), h (X))) .$ $R_{(\mathcal{L}, h)}(t, F) = E(\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X}))).$

Seu objetivo é responder ao movimento da natureza especificando alguns que minimizam o risco. $t$

Por exemplo, no jogo com a função e qualquer perda da forma para um número positivo sua jogada ideal é escolher como a expectativa de $h(X_1)=X_1$ $\mathcal{L}(t, h) = \lambda(t-h)^2$ $\lambda,$ $t(F)$ $F.$

A questão diante de nós é:

Fazer existem e para o qual o movimento é óptima para escolher para ser a variância ? $\mathcal{L}$ $h$ $t(F)$ $\sigma^2(F)$

Isso é prontamente respondido, exibindo a variação como uma expectativa. Uma maneira é estipular que e continue usando perda quadrática Ao observar que

h (X_{1}, X_{2}) = \frac{1}{2} (X_{1} - X_{2})^{2}

$h(X_1,X_2) = \frac{1}{2}(X_1-X_2)^2$

L (t, h) = (t - h)^{2} .

$\mathcal{L}(t,h) = (t-h)^2.$

E (h (X)) = σ^{2} (F),

$E(h(\mathbf{X})) = \sigma^2(F),$

o exemplo permite concluir que este este respondem à pergunta sobre variância. $h$ $\mathcal L$

E o desvio padrão ? Novamente, precisamos apenas exibir isso como a expectativa de uma amostra estatística. No entanto, isso não é possível, porque mesmo quando limitamos à família de distribuições de Bernoulli , só podemos obter estimadores imparciais das funções polinomiais de mas não é uma função polinomial no domínio (Consulte Para a distribuição binomial, por que não existe um estimador imparcial para ? Para o argumento geral sobre distribuições binomiais , para o qual essa questão pode ser reduzida após a média de $\sigma(F)$ $F$ $(p)$ $p,$ $\sigma(F) = \sqrt{p(1-p)}$ $p\in (0,1).$ $1/p$ $h$ sobre todas as permutações do) $X_i.$

— whuber
fonte

Obrigado por uma clara articulação da minha pergunta e uma resposta igualmente clara. Você também teria um exemplo de que depende de todos os pontos de amostra, não apenas de dois?

h

$h$

n

$n$

— Richard Hardy

Existe uma maneira padrão de ir de para : calcule a estatística para todos os pares e a média. De fato, isso produz minha caracterização de covariância em stats.stackexchange.com/a/18200/919 . Para a teoria formal disso, leia sobre U statistics .

2

$2$

n

$n$

— whuber

Muito obrigado!

— Richard Hardy