Qual é o significado de ?

Qual é o significado de $\|a\|_p=\left(\sum _{i=1}^n \left|a_i(t)\right|{}^p\right){}^{\frac{1}{p}}$ ?

Essa fórmula é mencionada na quinta página de Um resumo aprimorado do fluxo de dados: o esboço Count-Min e seus aplicativos (que podem ser encontrados aqui ). Estou implementando o esboço Count-Min e posso entender bem os conceitos básicos, mas alguns dos pontos mais sutis são explicados em termos dessa equação e de alguma outra terminologia que não estou familiarizado.

É a norma $L^p$ . Veja, por exemplo, os artigos da Wikipedia:

• $L^p$Espaço L ^ p
• Distância Minkowski

Se você usar , descobrirá que ele resolve a norma euclidiana mais familiar - ou seja, a medida mais familiar usada como comprimento do vetor . Outros valores de p fornecem outras maneiras de medir o comprimento, conforme descrito no artigo - consulte as seções sobre norma euclidiana, norma do táxi, etc.$p = 2$$a$

Este artigo não parece usar as normas maneira essencial - todos os resultados referenciam a norma explicitamente. O problema em si determina qual norma usar. Nesse caso, o interesse se concentra na cardinalidade de vários conjuntos. Um multiset é representado como um vetor de contagens de seus elementos, de onde sua cardinalidade é a mesma que sua norma . Muitas vezes, os resultados comprovados para uma norma podem ser mantidos sem nenhuma alteração necessária na prova para uma ampla faixa de (normalmente ). A oportunidade para uma maior generalidade, sem nenhum custo vai levar muitos trabalhos como este para falar sobre normas.G 1 L 1 p 1 ≤ p ≤ ∞ L $L^p$$L^1$$L^1$$p$$1 \le p \le \infty$$L^p$

$L^p$ normas vêm à tona nas discussões da dualidade na teoria espacial de Hilbert e Banach. Livros avançados, mas introdutórios (não é uma contradição!) Sobre análise geralmente cobrem esse material completamente. Para uma introdução a algumas das relações entre essas normas, leia sobre a Desigualdade do Titular e a Desigualdade de Minkowski .

n | | a | | p V p : V → R + p ( v ) ≡ | | v | $||a||$denota uma função específica, chamada norma , definida em um espaço vetorial. Ele mapeia um elemento dimensional de um espaço vetorial em um número real não negativo. denota uma norma ainda específica definida no espaço vetorial. Seja um espaço vetorial. Qualquer função , também denotadade tal modo que$n$$||a||_p$$V$$p:V\to R_+$$p(v)\equiv ||v||$

1. $p$ é finito e convexo
2. $p(x)=0 \implies x=0$
3. $\forall \alpha_{}\in R, \forall x\in V, p(\alpha_{}x)=|\alpha_{}|p(x)$

é chamado de norma em e é chamado de espaço normatizado. Você pode verificar se sua função satisfaz todas essas propriedades. No seu exemplo, também, é um espaço de funções, que é Essa é uma generalização do espaço euclidiano (com a norma euclidiana) com a qual você deve estar familiarizado, que é apenas um caso específico de espaço normativo em que o conjunto subjacente é o ( n-dimensional) números reais e a norma é a chamada norma euclidiana, um caso específico da função que aparece em sua pergunta.( V , p ) ≡ ( V , | | ⋅ | | V a i : T → T $V$$(V,p)\equiv (V,||\cdot||$$V$$a_i:T\to T'$

Por exemplo, o plano euclidiano é um espaço normativo tal que , e define a norma em como . Portanto, é apenas um plano e a norma fornece a "magnitude" do vetor. Observe que é apenas um caso especial da norma que você mencionou, de modo que , e você não precisa do operador de valor absoluto porque é uma soma de termos ao quadrado. x = ( x 1 , x 2 ) ∈ R 2 R 2 p ( x ) = | | x | | 2 = | | x | | = $V=R^2$$x=(x_1,x_2)\in R^2$$R^2$ n=2,p=2,umi(x)=x$p(x)=||x||_2=||x||=\sqrt{(x_1+x_2)^2}=(\sum_{i=1}^2x_i^2)^{1/2}$$n=2, p=2, a_i(x)=x_i$

Esses tópicos são abordados nos livros didáticos de Análise Real ou Álgebra Linear (de uma maneira mais restrita), sob a rubrica de normas ou espaços normatizados.