Qual é o valor esperado do logaritmo da distribuição gama?

Se o valor esperado de for , qual é o valor esperado de ? Pode ser calculado analiticamente?$\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta)$$\frac{\alpha}{\beta}$$\log(\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta))$

A parametrização que estou usando é a taxa de forma.

Este (talvez surpreendentemente) pode ser feito com operações elementares fáceis (empregando o truque favorito de Richard Feynman de diferenciar sob o sinal integral em relação a um parâmetro).

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Supomos que $X$ tem uma distribuição $\Gamma(\alpha,\beta)$ e desejamos encontrar a expectativa de $Y=\log(X).$ Primeiro, como $\beta$ é um parâmetro de escala, seu efeito será alterar o logaritmo pelo $\log\beta.$ (Se você usar $\beta$ como parâmetro de taxa , como na pergunta, ele mudará o logaritmo por $-\log\beta.$ ) Isso nos permite trabalhar com o caso $\beta=1.$

Após essa simplificação, o elemento de probabilidade de $X$ é

$$f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}$$

onde $\Gamma(\alpha)$ é a constante de normalização

$$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}.$$

Substituindo $x=e^y,$ que implica $\mathrm{d}x/x = \mathrm{d}y,$ fornece o elemento de probabilidade de $Y$ ,

$$f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.$$

Os valores possíveis de $Y$ agora variar sobre toda a números reais $\mathbb{R}.$

Porque $f_Y$ deve integrar a unidade, obtemos (trivialmente)

$$\Gamma(\alpha) = \int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.\tag{1}$$

Aviso $f_Y(y)$ é uma função diferenciável de $\alpha.$Um cálculo fácil fornece

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = y\, e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = \Gamma(\alpha) y\,f_Y(y).$$

O próximo passo explora a relação obtida dividindo os dois lados dessa identidade por $\Gamma(\alpha),$ expondo assim o próprio objeto que precisamos integrar para encontrar a expectativa; ou seja, $y f_Y(y):$

$$\eqalign{ \mathbb{E}(Y) &= \int_\mathbb{R} y\, f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_\mathbb{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y\\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\Gamma(\alpha)\\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\log\Gamma(\alpha)\\ &=\psi(\alpha), }$$

a derivada logarítmica da função gama (também conhecida como " polígamo "). A integral foi calculada usando a identidade $(1).$

A reintrodução do fator $\beta$ mostra que o resultado geral é

$$\mathbb{E}(\log(X)) = \log\beta + \psi(\alpha)$$

para uma parametrização de escala (onde a função de densidade depende de $x/\beta$ ) ou

$$\mathbb{E}(\log(X)) = -\log\beta + \psi(\alpha)$$

para uma parametrização de taxa (onde a função de densidade depende de $x\beta$ ).

A resposta do @whuber é bastante agradável; Vou reafirmar sua resposta essencialmente de uma forma mais geral, que se conecta (na minha opinião) melhor à teoria estatística, e que deixa claro o poder da técnica geral.

$\{F_\theta : \theta \in \Theta\}$

$$f_\theta(x) = \exp\left\{s(x)\theta - A(\theta) + h(x)\right\}$$
$$\int f_\theta(x) \ dx = 1$$ $\theta$ $$\int f'_\theta(x) = \int \frac{f'_\theta(x)}{f_\theta(x)} f_\theta(x) = \int u_\theta(x) \, f_\theta(x) \ dx = 0 \tag{$\dagger$}$$ $u_\theta(x) = \frac d {d\theta} \log f_\theta(x)$$f'_\theta(x) = \frac{d}{d\theta} f_\theta(x)$ $$u_\theta(x) = s(x) - A'(\theta)$$ $A'(\theta) = \frac d {d\theta} A(\theta)$$(\dagger)$$E_\theta[s(X)] = A'(\theta)$

$\beta$

$$f_\theta(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} = \exp\left\{\log(x) \alpha + \alpha \log \beta - \log \Gamma(\alpha) - \beta x \right\}.$$ $\alpha$$s(x) = \log x$$A(\alpha) = \log \Gamma(\alpha) - \alpha \log \beta$$\frac d {d\alpha} A(\alpha)$ $$E[\log X] = \psi(\alpha) - \log \beta.$$