Como simular a partir de uma cópula gaussiana?

Suponha que eu tenha duas distribuições marginais univariadas, digamos e , das quais eu possa simular. Agora, construa sua distribuição conjunta usando uma cópula gaussiana , denominada . Todos os parâmetros são conhecidos. $F$ $G$ $C(F,G;\Sigma)$

Existe um método não MCMC para simular a partir desta cópula?

normal-distribution simulation copula

— Tilo
fonte

Supondo para , é claro: Gere . Tome e . Tudo feito.

Σ_{i i} = 1

$\Sigma_{ii} = 1$

i = 1, 2

$i=1,2$

(X, Y) \sim N (0, Σ)

$(X,Y) \sim \mathcal N(0,\Sigma)$

F^{- 1} (Φ (X))

$F^{-1}(\Phi(X))$

G^{- 1} (Φ (Y))

$G^{-1}(\Phi(Y))$

— cardeal

R também possui um pacote chamado "copula", que pode simular a maioria das cópulas padrão.

— Semibruin

Existe um método muito simples de simular a partir da cópula gaussiana, que se baseia nas definições da distribuição normal multivariada e na cópula de Gauss.

Começarei fornecendo a definição e as propriedades necessárias da distribuição normal multivariada, seguida pela cópula gaussiana, e depois fornecerei o algoritmo para simular a partir da cópula de Gauss.

Distribuição normal multivariada
Um vetor aleatório tem uma distribuição normal multivariada se onde é um vetor tridimensional de variáveis aleatórias normais padrão independentes, é um vetor dimensional de constantes e é uma matriz de constantes. A notação $X = (X_1, \ldots, X_d)'$

X \overset{d}{=} μ + A Z,

$X \stackrel{\mathrm{d}}{=} \mu + AZ,$

Z

$Z$

k

$k$

μ

$\mu$

d

$d$

A

$A$

d \times k

$d\times k$

\overset{d}{=}

$\stackrel{\mathrm{d}}{=}$ denota igualdade na distribuição. Portanto, cada componente de

é essencialmente uma soma ponderada de variáveis aleatórias normais padrão independentes. A partir das propriedades dos vetores médios e matrizes de covariância, temos

, com

, levando à notação natural

X

$X$

E (X) = μ

${\rm E}(X) = \mu$

c o v (X) = Σ

${\rm cov}(X) = \Sigma$

Σ = A A^{'}

$\Sigma = AA'$

X \sim N_{d} (μ, Σ)

$X \sim {\rm N}_d(\mu, \Sigma)$

Cópula de Gauss
A cópula de Gauss é definida implicitamente a partir da distribuição normal multivariada, ou seja, a cópula de Gauss é a cópula associada a uma distribuição normal multivariada. Especificamente, a partir do teorema de Sklar, a cópula de Gauss é onde

C_{P} (u_{1}, \dots, u_{d}) = Φ_{P} (Φ^{- 1} (u_{1}), \dots, Φ^{- 1} (u_{d})),

$C_P(u_1, \ldots, u_d) = \boldsymbol{\Phi}_P(\Phi^{-1}(u_1), \ldots, \Phi^{-1}(u_d)),$

Φ

$\Phi$ denota a função de distribuição normal padrão e

denota a função de distribuição normal padrão multivariada com matriz de correlação P. Portanto, a cópula de Gauss é simplesmente uma distribuição normal multivariada padrão em que a transformação integral de probabilidade é aplicada a cada margem.

Φ_{P}

$\boldsymbol{\Phi}_P$

Algoritmo de simulação
Em vista do exposto, uma abordagem natural para simular a partir da cópula de Gauss é simular a partir da distribuição normal padrão multivariada com uma matriz de correlação apropriada e converter cada margem usando a transformação integral de probabilidade com a função de distribuição normal padrão. Embora simulando a partir de uma distribuição normal multivariada com matriz covariância essencialmente vem para baixo para fazer uma soma ponderada de variáveis independentes normais padrão aleatório, em que o "peso" matriz podem ser obtidos por decomposição de Cholesky da matriz covariância . $P$ $\Sigma$ $A$ $\Sigma$

Portanto, um algoritmo para simular amostras da cópula de Gauss com matriz de correlação é: $n$ $P$

Realize uma decomposição de de Cholesky e defina como a matriz triangular inferior resultante. $P$ $A$
Repita as etapas a seguir vezes.
1. Gere um vetor de variáveis normais padrão independentes. $Z = (Z_1, \ldots, Z_d)'$
2. Defina $X = AZ$
3. Retorno . $U = (\Phi(X_1), \ldots, \Phi(X_d))'$

O código a seguir em um exemplo de implementação desse algoritmo usando R:

## Initialization and parameters 
set.seed(123)
P <- matrix(c(1, 0.1, 0.8,               # Correlation matrix
              0.1, 1, 0.4,
              0.8, 0.4, 1), nrow = 3)
d <- nrow(P)                             # Dimension
n <- 200                                 # Number of samples

## Simulation (non-vectorized version)
A <- t(chol(P))
U <- matrix(nrow = n, ncol = d)
for (i in 1:n){
    Z      <- rnorm(d)
    X      <- A%*%Z
    U[i, ] <- pnorm(X)
}

## Simulation (compact vectorized version) 
U <- pnorm(matrix(rnorm(n*d), ncol = d) %*% chol(P))

## Visualization
pairs(U, pch = 16,
      labels = sapply(1:d, function(i){as.expression(substitute(U[k], list(k = i)))}))

A tabela a seguir mostra os dados resultantes do código R acima.

insira a descrição da imagem aqui

— QuantIbex
fonte

Onde F e G aparecem depois disso?

— Lcrmorin

@Were_cat, o que você quer dizer?

— QuantIbex 7/08/15

Na pergunta original, há uma menção a F e G, duas distribuições univariadas. Como você vai de cópulas para rv com margens F e G?

— Lcrmorin

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

(0, 1)

$(0, 1)$

Y_{1}

$Y_1$

Y_{2}

$Y_2$

F

$F$

G

$G$

Y_{1} = F^{- 1} (U_{1})

$Y_1 = F^{-1}(U_1)$

Y_{2} = G^{- 1} (U_{2})

$Y_2 = G^{-1}(U_2)$

F^{- 1}

$F^{-1}$

G^{- 1}

$G^{-1}$

F

$F$

G

$G$

@Were_cat, para citar a página da cópula da wikipedia : "uma cópula é uma distribuição de probabilidade multivariada para a qual a distribuição de probabilidade marginal de cada variável é uniforme. Cópulas são usadas para descrever a dependência entre variáveis aleatórias."

— precisa saber é o seguinte