Se forem IID, calcule , onde

Questão

Se forem IID, calcule , onde .$X_1,\cdots,X_n \sim \mathcal{N}(\mu, 1)$$\mathbb{E}\left( X_1 \mid T \right)$$T = \sum_i X_i$

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Tentativa : Verifique se o abaixo está correto.

Digamos, tomamos a soma dessas expectativas condicionais de modo que, Isso significa que cada desde que são IID.

$$\begin{align} \sum_i \mathbb{E}\left( X_i \mid T \right) = \mathbb{E}\left( \sum_i X_i \mid T \right) = T . \end{align}$$ $\mathbb{E}\left( X_i \mid T \right) = \frac{T}{n}$$X_1,\ldots,X_n$

Portanto, . Está correto?$\mathbb{E}\left( X_1 \mid T \right) = \frac{T}{n}$

A ideia está certa - mas há uma questão de expressá-la um pouco mais rigorosamente. Vou, portanto, focar na notação e expor a essência da idéia.

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Vamos começar com a ideia de permutabilidade:

Uma variável aleatória $\mathbf X=(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ é permutável quando as distribuições das variáveis ​​permutadas $\mathbf{X}^\sigma=(X_{\sigma(1)}, X_{\sigma(2)}, \ldots, X_{\sigma(n)})$ são todos iguais para todas as permutações possíveis $\sigma$ .

Claramente, o iid implica permutável.

Por uma questão de notação, escrever $X^\sigma_i = X_{\sigma(i)}$ para o $i^\text{th}$ componente de $\mathbf{X}^\sigma$ e deixar

$$T^\sigma = \sum_{i=1}^n X^\sigma_i = \sum_{i=1}^n X_i = T.$$

Seja $j$ qualquer índice e $\sigma$ seja qualquer permutação dos índices que envia $1$ para $j = \sigma(1).$ (Esse $\sigma$ existe porque sempre é possível trocar $1$ e $j.$ ) A permutabilidade de $\mathbf X$ implica

$$E[X_1\mid T] = E[X^\sigma_1\mid T^\sigma] = E[X_j\mid T],$$

porque (na primeira desigualdade) apenas substituímos $\mathbf X$ pelo vetor idêntico- mente distribuído $\mathbf X^\sigma.$ Este é o cerne da questão.

Consequentemente

$$T = E[T \mid T] = E[\sum_{i=1}^n X_i\mid T] = \sum_{i=1}^n E[X_i\mid T] = \sum_{i=1}^n E[X_1\mid T] = n E[X_1 \mid T],$$

de onde

$$E[X_1\mid T] = \frac{1}{n} T.$$

$\newcommand{\one}{\mathbf 1}$Esta não é uma prova (e +1 na resposta do @ whuber), mas é uma maneira geométrica de construir alguma intuição sobre por que $E(X_1 | T) = T/n$ é uma resposta sensata.

Deixe que $X = (X_1,\dots,X_n)^T$ e $\one = (1,\dots,1)^T$ de modo $T = \one^TX$ . Estamos condicionando o evento em que $\one^TX = t$ por algum $t \in \mathbb R$ , é como desenhar gaussianos multivariados suportados em $\mathbb R^n$ mas apenas olhando os que terminam no espaço afim $\{x \in \mathbb R^n : \one^Tx = t\}$ . Então, queremos saber a média dascoordenadas$x_1$ dos pontos que aterram neste espaço afim (não importa que seja um subconjunto de medida zero).

Conhecemos

$$X \sim \mathcal N(\mu \one, I)$$ portanto, temos um Gaussiano esférico com um vetor médio constante, e o vetor médio $\mu\one$ está na mesma linha que o vetor normal do hiperplano $x^T\one = 0$ .

Isso nos dá uma situação como a imagem abaixo:

A idéia principal: primeiro imagine a densidade sobre o subespaço afinado $H_t := \{x : x^T\one = t\}$ . A densidade de $X$ é simétrica em torno de $x_1 = x_2$ já que $E(X) \in \text{span } \one$ . A densidade também será simétrica em $H_t$ como $H_t$ também é simétrico na mesma linha, e o ponto em torno do qual é simétrico é a interseção das linhas $x_1 + x_2 = t$ e$x_1 = x_2$ . Isso acontece para$x = (t/2, t/2)$ .

Para representar $E(X_1 | T)$ , podemos imaginar amostragens repetidas vezes e, sempre que obtemos um ponto em $H_t$ pegamos apenas a coordenada $x_1$ e salvamos isso. A partir da simetria da densidade em $H_t$ a distribuição do $x_1$ coordenadas também será simétrica, e que vai ter o mesmo ponto central de $t/2$ . A média de uma distribuição simétrica é o ponto central de simetria, então isso significa $E(X_1 | T) = T/2$, e que $E(X_1| T) = E(X_2 | T)$ uma vez que $X_1$ e $X_2$ podem ser alternados sem afetar nada.

Em dimensões mais altas, fica difícil (ou impossível) visualizar exatamente, mas a mesma idéia se aplica: temos um gaussiano esférico com média no intervalo de $\one$ e estamos vendo um subespaço afim que é perpendicular a isso. O ponto de equilíbrio da distribuição no subespaço ainda será a interseção do $\text{span }\one$ e $\{x : x^T\one = t\}$ que está em $x=(t/n, \dots, t/n)$ , e a densidade ainda é simétrica então esse ponto de equilíbrio é novamente a média.

Novamente, isso não é uma prova, mas acho que dá uma idéia decente do porquê você esperaria esse comportamento em primeiro lugar.

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Além disso, como alguns notaram @StubbornAtom, isso não exige que $X$ seja gaussiano. Em 2D, observe que, se $X$ é permutável, então $f(x_1, x_2) = f(x_2, x_1)$ (mais geralmente, $f(x) = f(x^\sigma)$ ), portanto $f$ deve ser simétrico sobre a linha $x_1 = x_2$ . Nós também temos $E(X) \in \text{span }\one$ então tudo o que eu disse sobre a "ideia-chave" na primeira foto ainda é exatamente válido. Aqui está um exemplo em que o$X_i$ é iid de um modelo de mistura gaussiano. Todas as linhas têm o mesmo significado que antes.

Penso que a sua resposta está certa, embora não tenha certeza absoluta sobre a linha do assassino na sua prova, sobre a verdade "porque são iid". Um caminho mais prolixo para a mesma solução é o seguinte:

$\mathbb{E}(x_{i}|T)$

$\mathbb{E}(x_{i}|T)$$\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{N}x_{i}$