Parâmetros sem priores definidos em Stan

Eu apenas comecei a aprender a usar Stan e rstan. A menos que eu sempre tenha ficado confuso sobre como o JAGS / BUGS funcionou, pensei que você sempre tivesse que definir uma distribuição anterior de algum tipo para cada parâmetro no modelo a ser extraído. Parece que você não precisa fazer isso em Stan, com base na documentação. Aqui está um modelo de amostra que eles fornecem aqui .

data {
  int<lower=0> J; // number of schools 
  real y[J]; // estimated treatment effects
  real<lower=0> sigma[J]; // s.e. of effect estimates 
} 
parameters {
  real theta[J]; 
  real mu; 
  real<lower=0> tau; 
} 
model {
  theta ~ normal(mu, tau); 
  y ~ normal(theta, sigma);
} 

Nem munem os anteriores tauforam definidos. Ao converter alguns dos meus modelos JAGS para Stan, descobri que eles funcionam se eu deixar muitos ou muitos parâmetros com anteriores indefinidos.

O problema é que não entendo o que Stan está fazendo quando tenho parâmetros sem antecedentes definidos. É padrão para algo como uma distribuição uniforme? Essa é uma das propriedades especiais do HMC, que não requer um definido anteriormente para cada parâmetro?

No (uma versão anterior) do manual de referência Stan:

Não especificar um prior é equivalente a especificar um prior uniforme.

Um prior uniforme só é adequado se o parâmetro estiver delimitado [...]

Priores impróprios também são permitidos nos programas Stan; eles surgem de parâmetros irrestritos sem instruções de amostragem. Em alguns casos, um prévio inadequado pode levar a um posterior adequado, mas cabe ao usuário garantir que as restrições no (s) parâmetro (s) ou nos dados garantam a propriedade do posterior.

(Veja também a seção C.3 na versão 1.0.1 ).

A razão subjacente de que tudo está bem no Stan, mas não no BUGS, pode ter a ver com o fato de que no BUGS, o "programa" do seu modelo está especificando um modelo gráfico formal, enquanto no Stan você está escrevendo uma pequena função para calcular a probabilidade conjunta Função de densidade. Não especificar um prévio adequado para todas as variáveis ​​pode estragar as boas propriedades formais dos modelos gráficos.

No entanto, para o Hamiltoniano MC, você só precisa (numericamente) calcular a função de densidade da junta. Um anterior plano (mesmo impróprio) contribui apenas com um termo constante para a densidade e, desde que o posterior seja adequado (massa de probabilidade total finita) - que será com qualquer função de probabilidade razoável - ele pode ser completamente ignorado no HMC esquema.

Da referência Stan v1.0.2 (página 6, nota de rodapé 1)

Se nenhum prior foi especificado no bloco do modelo, as restrições no theta garantem que ele caia entre 0 e 1, fornecendo ao theta um uniforme implícito anterior. Para parâmetros sem suporte previamente especificado e ilimitado, o resultado é um anterior inadequado. Stan aceita anteriores impróprios, mas os posteriores devem ser adequados para que a amostragem seja bem-sucedida.

Ambos mue sigmatêm antecedentes uniformes impróprios.

Sob o capô, mue sigmasão tratados de forma diferente. sigmaé definido com um limite inferior; Amostras de Stan de log(sigma)(com um ajuste jacobiano para a transformação). Para mais detalhes sobre transformações, consulte o Capítulo 27 (pág. 153).