Incorrelação + Normalidade das Articulações = Independência. Por quê? Intuição e mecânica

Duas variáveis não correlacionadas não são necessariamente independentes, como é simplesmente exemplificado pelo fato de e não serem correlacionados, mas não independentes. No entanto, duas variáveis não correlacionadas e distribuídas em conjunto normalmente são garantidas como independentes. Alguém pode explicar intuitivamente por que isso é verdade? O que exatamente a normalidade conjunta de duas variáveis adiciona ao conhecimento da correlação zero entre duas variáveis, o que nos leva a concluir que essas duas variáveis DEVEM ser independentes? $X$ $X^2$

— ColorStatistics
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Geralmente não é o caso de e não serem correlacionados (a menos que você coloque condições específicas no que os tornariam não correlacionadas, mas você não menciona nenhuma).

X

$X$

X^{2}

$X^2$

X

$X$

— Glen_b -Reinstala Monica 10/11

Primeiro, voltando ao fato de que correlação se refere a relações lineares, explique como X ^ 2 está linearmente relacionado a X. Segundo, você parece estar afirmando que não apenas X ^ 2 e X podem ser linearmente relacionados, mas que eles são linearmente relacionados mais frequentemente do que não, dado o uso da palavra "geralmente". Por favor explique. Obrigado.

— ColorStatistics

@Glen_b está no local:

X

$X$ e

X^{2}

$X^{2}$ não são correlacionados se você estipular especificamente o intervalo de

X

$X$ . Por exemplo, Pearson's

r \approx 0.98

$r \approx 0.98$ para

X

$X$ e

X^{2}

$X^{2}$ ao restringir a amostra de

X \sim N (0, 1)

$X\sim \mathcal{N}(0,1)$ para valores de

X

$X$ na faixa maior que 1. Confira você mesmo (R):X <- rnorm(n=10000); X2 <- X*X; cor(X[X>1],X2[X>1])

— Alexis

@ Alexis Não é apenas a faixa, mas a maneira como as probabilidades se distribuem sobre esses valores dentro da faixa. Se você altera a distribuição, altera a correlação.

— Glen_b -Reinstala Monica 10/11

A correlação @ColorStatistics é o grau de relacionamento linear, sim. No entanto, a projeção de

x^{2}

$x^2$ para

x

$x$ pode envolver um componente linear substancial. Se você quiser ver um exemplo com alta correlação linear entre uma variável e seu quadrado, deixe

X

$X$ tome os valores 0 e 1 com igual probabilidade (por exemplo, registre o número de caras no lançamento de uma única moeda justa). Então corr

(X, X^{2}) = 1

$(X,X^2)=1$ (!) Se você estiver livre para especificar a distribuição de

X

$X$ , você pode fazer a correlação entre

X

$X$ e

X^{2}

$X^2$ pegue qualquer valor entre

- 1

$-1$ e

1

$1$ . ...

— ctd

Respostas:

A função densidade de probabilidade conjunta (pdf) da distribuição normal bivariada é:

f (x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{2 π σ_{1} σ_{2} \sqrt{1 - ρ^{2}}} \exp [- \frac{z}{2 (1 - ρ^{2})}],

$f(x_1,x_2)=\frac 1{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp[-\frac z{2(1-\rho^2)}],$

Onde

z = \frac{(x_{1} - μ_{1})^{2}}{σ_{1}^{2}} - \frac{2 ρ (x_{1} - μ_{1}) (x_{2} - μ_{2})}{σ_{1} σ_{2}} + \frac{(x_{2} - μ_{2})^{2}}{σ_{2}^{2}} .

$z=\frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(x_1-\mu_1)(x_2-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}.$ Quando

ρ = 0

$\rho = 0$ ,

\begin{aligned} f (x_{1}, x_{2}) & = \frac{1}{2 π σ_{1} σ_{2}} \exp [- \frac{1}{2} {\frac{(x_{1} - μ_{1})^{2}}{σ_{1}^{2}} + \frac{(x_{2} - μ_{2})^{2}}{σ_{2}^{2}}}] \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ_{1}} \exp [- \frac{1}{2} {\frac{(x_{1} - μ_{1})^{2}}{σ_{1}^{2}}}] \frac{1}{\sqrt{2 π} σ_{2}} \exp [- \frac{1}{2} {\frac{(x_{2} - μ_{2})^{2}}{σ_{2}^{2}}}] \\ = f (x_{1}) f (x_{2}) \end{aligned}

$\begin{align}f(x_1,x_2) &=\frac 1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp[-\frac 12\left\{\frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}+\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right\} ]\\ & = \frac 1{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\exp[-\frac 12\left\{\frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}\right\}] \frac 1{\sqrt{2\pi}\sigma_2}\exp[-\frac 12\left\{\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right\}]\\ &= f(x_1)f(x_2)\end{align}$ .

Então eles são independentes.

— user158565
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Eu era duas linhas mais devagar que você! (+1)

— jbowman 9/11/19

Obrigado a todos. Prova elegante. Está claro agora. Parece-me que, dado o fluxo da prova, eu deveria ter perguntado o que o conhecimento da correlação zero acrescenta ao conhecimento da normalidade das articulações e não o contrário.

— ColorStatistics

Que tal uma explicação intuitiva sobre por que é verdade?

— ColorStatistics

Talvez não exista uma explicação simples e intuitiva.

— user158565

Poderíamos ter alguma intuição ao longo da linha de raciocínio de que os momentos superiores a (2) de um processo gaussiano são todos zero e, adicionando a condição de correlação zero (momento 2), todos os momentos são maiores que um para zero?

— ColorStatistics

Normalidade articular de duas variáveis aleatórias $X,Y$ pode ser caracterizado de duas maneiras simples:

Para cada par $a,b$ de números reais (não aleatórios), $aX+bY$ tem uma distribuição normal univariada.
Existem variáveis aleatórias $Z_1,Z_2\sim\operatorname{\text{i.i.d.}} \operatorname N(0,1)$ e números reais $a,b,c,d$ de tal modo que
$\begin{aligned} X & = a Z_{1} + b Z_{2} \\ and Y & = c Z_{1} + d Z_{2} . \end{aligned}$ $\begin{align} X & = aZ_1+bZ_2 \\ \text{and } Y & = cZ_1 + dZ_2. \end{align}$

É fácil mostrar que o primeiro deles segue do segundo. Que o segundo se segue do primeiro exige mais trabalho, e talvez eu o publique em breve. . .

Se o segundo for verdade, então $\operatorname{cov}(X,Y) = ac + bd.$

Se essa covariância for $0,$ então os vetores $(a,b),$ $(c,d)$ são ortogonais entre si. Então $X$ é um múltiplo escalar da projeção ortogonal de $(Z_1,Z_2)$ para $(a,b)$ e $Y$ para $(c,d).$

Agora, junte o fato da ortogonalidade à simetria circular da densidade articular de $(Z_1,Z_2),$ ver que a distribuição de $(X,Y)$ deve ser igual à distribuição de duas variáveis aleatórias, uma das quais é um múltiplo escalar da projeção ortogonal de $(Z_1,Z_2)$ no $x$ eixo, ou seja, é um múltiplo escalar de $Z_1,$ e o outro é similarmente um múltiplo escalar de $Z_2.$

— Michael Hardy
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