Por que uma cadeia de Markov finita, irredutível e aperiódica com uma matriz duplamente estocástica P tem uma distribuição limitadora uniforme?

O teorema é "Se uma matriz de transição para uma cadeia de Markov irredutível com um espaço de estados finito S é duplamente estocástica, sua (invulgar) medida invariante é uniforme sobre S."

Se uma cadeia de Markov tem uma matriz de transição duplamente estocástica, li que suas probabilidades limitantes compõem a distribuição uniforme, mas não entendo bem o porquê.

Eu tenho tentado inventar e localizar uma prova compreensível para isso. Mas as provas que encontro são detalhadas sobre os detalhes que não entendo, como a proposição 15.5 aqui (por que funciona apenas usar os [1, ... 1] vetores?). Alguém poderia me indicar (ou escrever) um texto mais? prova simples / detalhada?

(Embora não faça parte de qualquer coisa que eu forneça na escola, é parte de um curso que estou cursando, então acho que vou marcar com lição de casa nos dois casos.)

Suponha que tenhamos uma cadeia de Markov irredutível e aperiódica no estado , com os estados m j , j = 0 , 1 , … , M , com uma matriz de transição duplamente estocástica (ou seja, ∑ M i = 0 P i , j = 1 para todos j ). Então a distribuição limitadora é π j = $M+1$$m_j$$j=0,1,\ldots, M$$\sum_{i=0}^M P_{i,j}=1$$j$ .$\pi_j=\frac{1}{M+1}$

Prova

Observe primeiro que é a solução única para π j = ∑ M i = 0 π i P i , j e ∑ M i = 0 π i = 1 .$\pi_j$$\pi_j=\sum_{i=0}^M \pi_iP_{i,j}$$\sum_{i=0}^M\pi_i=1$

Tente . Isso fornece π j = ∑ M i = 0 π i P i , j = ∑ M i = 0 P i , j = 1 (porque a matriz é duplamente estocástica). Assim pi i = 1 é uma solução para o primeiro conjunto de equações, e a torná-la uma solução para o segundo normalizar dividindo por M + 1 .$\pi_i=1$$\pi_j=\sum_{i=0}^M \pi_iP_{i,j}=\sum_{i=0}^M P_{i,j}=1$$\pi_i=1$$M+1$

Por exclusividade, .$\pi_j=\frac{1}{M+1}$