Deborah Mayo refutou a prova de Birnbaum do princípio da verossimilhança?

Isso está um pouco relacionado à minha pergunta anterior aqui: Um exemplo em que o princípio da probabilidade * realmente * importa?

Aparentemente, Deborah Mayo publicou um artigo na Statistical Science refutando a prova de Birnbaum do princípio da probabilidade. Alguém pode explicar o argumento principal de Birnbaum e o contra-argumento de Mayo? Ela está certa (logicamente)?

Em suma, o argumento de Birnbaum é que dois princípios amplamente aceitos implicam logicamente que o princípio da probabilidade deve se manter. O contra-argumento de Mayo é que a prova está errada porque Birnbaum usa mal um dos princípios.

Abaixo, simplifico os argumentos na medida em que eles não são muito rigorosos. Meu objetivo é torná-los acessíveis a um público mais amplo, porque os argumentos originais são muito técnicos. Os leitores interessados ​​devem ver os detalhes nos artigos vinculados na pergunta e nos comentários.

Por uma questão de concretude, vou me concentrar no caso de uma moeda com viés desconhecido . No experimento , 10 vezes. No experimento , até obter 3 "caudas". No experimento , jogamos uma moeda justa chamada "1" e "2": se ela obtiver um "1", executaremos ; se obtiver um "2", executaremos . Este exemplo simplificará bastante a discussão e exibirá a lógica dos argumentos (as provas originais são obviamente mais gerais).$\theta$$E_1$$E_2$$E_{mix}$$E_1$$E_2$

Os princípios:

Os dois princípios a seguir são amplamente aceitos:

O Princípio da Condicionalidade Fraca diz que devemos tirar as mesmas conclusões se decidirmos realizar o experimento , ou se decidirmos executar e a moeda cair "1".$E_1$$E_{mix}$

O Princípio da Suficiência diz que devemos tirar as mesmas conclusões em dois experimentos em que uma estatística suficiente tem o mesmo valor.

O princípio a seguir é aceito pelos bayesianos, mas não pelos freqüentadores. No entanto, Birnbaum afirma que é uma consequência lógica dos dois primeiros.

O Princípio da Verossimilhança diz que devemos tirar as mesmas conclusões em dois experimentos em que as funções de verossimilhança são proporcionais.

Teorema de Birnbaum:

Digamos que realizamos e obtemos 7 "cabeças" em cada dez movimentos. A função de probabilidade de é . Realizamos e virar a moeda 10 vezes para obter 3 "caudas". A função de probabilidade de é . As duas funções de probabilidade são proporcionais.$E_1$$\theta$${10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3$$E_2$$\theta$${9 \choose 7}\theta^7(1-\theta)^3$

Birnbaum considera a seguinte estatística em de a : onde e são os números de "cara" e "coroa", respectivamente. Portanto, aconteça o que acontecer, relata o resultado como se tivesse vindo do experimento . Acontece que é suficiente para em . O único caso não trivial é quando e , onde temos$E_{mix}$$\{1, 2\} \times \mathbb{N}^2$$\{1, 2\} \times \mathbb{N}^2$

$$T: (\xi, x,y) \rightarrow (1, x,y),$$ $x$$y$$T$$E_1$$T$$\theta$$E_{mix}$$x = 7$$y = 3$

$$P(X_{mix}=(1,x,y)|T=(1,x,y)) = \frac{0.5 \times {10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3}{0.5 \times {10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3 + 0.5 \times {9 \choose 7}\theta^7(1-\theta)^3}=\frac{{10 \choose 3}}{{10 \choose 3}+{9 \choose 7}}.$$ Todos os outros casos são 0 ou 1 - exceto , que é o complemento da probabilidade acima. A distribuição de dada é independente de , então é uma estatística suficiente para .$P(X_{mix}=(2,x,y)|T=(1,x,y))$$X_{mix}$$T$$\theta$$T$$\theta$

Agora, de acordo com o princípio da suficiência, devemos concluir o mesmo para e em e, a partir do princípio da condicionalidade fraca, devemos concluir o mesmo para em e em , bem como para em e em . Portanto, nossa conclusão deve ser a mesma em todos os casos, que é o princípio da probabilidade.$(1,x,y)$$(2,x,y)$$E_{mix}$$(x,y)$$E_1$$(1,x,y)$$E_{mix}$$(x,y)$$E_2$$(2,x,y)$$E_{mix}$

Contra-prova da Mayo:

A configuração de Birnbaum não é um experimento de mistura porque o resultado da moeda rotulada "1" e "2" não foi observado , portanto, o princípio da condicionalidade fraca não se aplica a este caso .

Faça o teste versus e tire uma conclusão do valor-p do teste. Como observação preliminar, observe que o valor p de em é dado pela distribuição binomial como aproximadamente ; o valor p de em é dado pela distribuição binomial negativa como aproximadamente .$\theta = 0.5$$\theta > 0.5$$(7,3)$$E_1$$0.1719$$(7,3)$$E_2$$0.0898$

Aí vem a parte importante: o valor p de em é dado como a média das duas - lembre-se de que não sabemos o status da moeda - ou seja, aproximadamente . No entanto, o valor p de em - onde a moeda é observada - é o mesmo de , ou seja , aproximadamente . O princípio da condicionalidade fraca é válido (a conclusão é a mesma em e em onde a moeda cai "1") e, no entanto, o princípio da probabilidade não. O contra-exemplo refuta o teorema de Birnbaum.$T=(1,7,3)$$E_{mix}$$0.1309$$(1,7,3)$$E_{mix}$$E_1$$0.1719$$E_1$$E_{mix}$

Refutação de Peña e Berger da contra-prova de Mayo:

Mayo mudou implicitamente a afirmação do princípio da suficiência: ela interpreta "mesmas conclusões" como "mesmo método". Tomar o valor-p é um método de inferência, mas não uma conclusão.

O princípio suficiência diz que se existe uma estatística suficiente, então as conclusões deve ser o mesmo, mas não requer a estatística suficiente para ser usado em tudo. Se isso acontecesse, levaria a uma contradição, como demonstrado por Mayo.