Coeficiente negativo na regressão logística ordenada

Suponha que tenhamos a resposta ordinal e um conjunto de variáveis que pensamos irá explicar . Em seguida, fazemos uma regressão logística ordenada de (matriz de projeto) em (resposta).$y:\{\text{Bad, Neutral, Good}\} \rightarrow \{1,2,3\}$$X:=[x_1,x_2,x_3]$$y$$X$$y$

Suponha que o coeficiente estimado de , chame-o , na regressão logística ordenada seja . Como interpreto o odds ratio (OR) de ?$x_1$$\hat{\beta}_1$$-0.5$$e^{-0.5} = 0.607$

Eu digo "para um aumento de 1 unidade em , ceteris paribus, as chances de observar são vezes as chances de observar e para a mesma alteração em , as chances de observar são vezes as chances de observar "?$x_1$$\text{Good}$$0.607$$\text{Bad}\cup \text{Neutral}$$x_1$$\text{Neutral} \cup \text{Good}$$0.607$$\text{Bad}$

Não consigo encontrar exemplos de interpretação negativa do coeficiente no meu livro ou no Google.

Você está no caminho certo, mas sempre dê uma olhada na documentação do software que está usando para ver qual modelo é realmente adequado. Suponha uma situação com uma variável dependente categórica com categorias ordenadas 1 , … , g , … , ke preditores X 1 , … , X j , … , X p .$Y$$1, \ldots, g, \ldots, k$$X_{1}, \ldots, X_{j}, \ldots, X_{p}$

"Na natureza", você pode encontrar três opções equivalentes para escrever o modelo de probabilidades proporcionais teóricas com diferentes significados de parâmetros implícitos:

1. $\text{logit}(p(Y \leqslant g)) = \ln \frac{p(Y \leqslant g)}{p(Y > g)} = \beta_{0_g} + \beta_{1} X_{1} + \dots + \beta_{p} X_{p} \quad(g = 1, \ldots, k-1)$
2. $\text{logit}(p(Y \leqslant g)) = \ln \frac{p(Y \leqslant g)}{p(Y > g)} = \beta_{0_g} - (\beta_{1} X_{1} + \dots + \beta_{p} X_{p}) \quad(g = 1, \ldots, k-1)$
3. $\text{logit}(p(Y \geqslant g)) = \ln \frac{p(Y \geqslant g)}{p(Y < g)} = \beta_{0_g} + \beta_{1} X_{1} + \dots + \beta_{p} X_{p} \quad(g = 2, \ldots, k)$

(Os modelos 1 e 2 têm a restrição de que, nas regressões logísticas binárias separadas , os β j não variam com g , e β 0 1 < … < β 0 g < … < β 0 k - 1 , o modelo 3 tem a mesma restrição sobre a β j , e requer que β 0 2 > ... > β 0 g > ... > β 0 k )$k-1$$\beta_{j}$$g$$\beta_{0_1} < \ldots < \beta_{0_g} < \ldots < \beta_{0_k-1}$$\beta_{j}$$\beta_{0_2} > \ldots > \beta_{0_g} > \ldots > \beta_{0_k}$

• No modelo 1, uma positivos meios que um aumento no preditor X j está associada com aumento da probabilidade de um menor categoria em Y .$\beta_{j}$$X_{j}$$Y$
• O modelo 1 é um tanto contra-intuitivo; portanto, o modelo 2 ou 3 parece ser o preferido no software. Aqui, um positivo meios que um aumento no preditor X j está associada com aumento da probabilidade para uma maior categoria em Y .$\beta_{j}$$X_{j}$$Y$
• Os modelos 1 e 2 levam às mesmas estimativas para o , mas suas estimativas para o β j têm sinais opostos.$\beta_{0_g}$$\beta_{j}$
• Os modelos 2 e 3 levam às mesmas estimativas para o , mas suas estimativas para o β 0 g têm sinais opostos.$\beta_{j}$$\beta_{0_g}$

Supondo que seu software use os modelos 2 ou 3, você pode dizer "com um aumento de 1 unidade em , ceteris paribus, as chances previstas de observar ' Y = Bom ' vs. observar ' Y = Neutro OU Ruim ' por um fator de e β 1 = 0,607 . "e igualmente" com um aumento de 1 unidade na X 1 , ceterisparibus, os preditos probabilidades de observar ' Y = Bom ou neutro ' vs observando ' Y = Bad ' mudança por um factor de e $X_1$$Y = \text{Good}$$Y = \text{Neutral OR Bad}$$e^{\hat{\beta}_{1}} = 0.607$$X_1$$Y = \text{Good OR Neutral}$$Y = \text{Bad}$. "Observe que, no caso empírico, temos apenas as probabilidades previstas, não as reais.$e^{\hat{\beta}_{1}} = 0.607$

Aqui estão algumas ilustrações adicionais para o modelo 1 com categorias. Primeiro, a suposição de um modelo linear para os logits cumulativos com chances proporcionais. Segundo, as probabilidades implícitas de observar no máximo a categoria g . As probabilidades seguem funções logísticas com a mesma forma. $k = 4$$g$

Para as probabilidades da categoria em si, o modelo representado implica as seguintes funções ordenadas:

PS Pelo que sei, o modelo 2 é usado no SPSS, bem como nas funções R MASS::polr()e ordinal::clm(). O modelo 3 é usado nas funções R rms::lrm()e VGAM::vglm(). Infelizmente, eu não sei sobre SAS e Stata.