Como a causalidade é definida matematicamente?

Qual é a definição matemática de uma relação causal entre duas variáveis ​​aleatórias?

Dada uma amostra da distribuição conjunta de duas variáveis ​​aleatórias e , quando diríamos que causa ?$X$$Y$$X$$Y$

Para contextualizar, estou lendo este artigo sobre descoberta causal .

Qual é a definição matemática de uma relação causal entre duas variáveis ​​aleatórias?

Matematicamente, um modelo causal consiste em relacionamentos funcionais entre variáveis. Por exemplo, considere o sistema de equações estruturais abaixo:

Isso significa que $x$ determina funcionalmente o valor de $y$ (se você intervir em $x$ isso altera os valores de $y$ ), mas não o contrário. Graficamente, isso geralmente é representado por $x \rightarrow y$ , o que significa que $x$ entra na equação estrutural de y. Como adendo, você também pode expressar um modelo causal em termos de distribuições conjuntas de variáveis ​​contrafactuais, matematicamente equivalentes a modelos funcionais .

Dada uma amostra da distribuição conjunta de duas variáveis ​​aleatórias X e Y, quando diríamos que X causa Y?

Às vezes (ou na maioria das vezes) você não tem conhecimento sobre a forma das equações estruturais $f_{x}$ , $f_y$ , nem mesmo se $x\rightarrow y$ ou $y \rightarrow x$ . A única informação que você tem é a distribuição de probabilidade conjunta $p(y,x)$ (ou amostras dessa distribuição).

Isso leva à sua pergunta: quando posso recuperar a direção da causalidade apenas a partir dos dados? Ou, mais precisamente, quando posso recuperar se $x$ entra na equação estrutural de $y$ ou vice-versa, apenas a partir dos dados?

Obviamente, sem suposições fundamentalmente não testáveis sobre o modelo causal, isso é impossível . O problema é que vários modelos causais diferentes podem implicar a mesma distribuição de probabilidade conjunta das variáveis ​​observadas. O exemplo mais comum é um sistema linear causal com ruído gaussiano.

Mas, sob algumas suposições causais, isso pode ser possível - e é nisso que a literatura de descoberta causal trabalha. Se você não tem exposição prévia a esse tópico, pode começar com Elements of Causal Inference de Peters, Janzing e Scholkopf, bem como no capítulo 2 de Causality de Judea Pearl. Temos um tópico aqui no CV para referências sobre descoberta causal , mas ainda não temos muitas referências listadas lá.

Portanto, não há apenas uma resposta para sua pergunta, pois depende das suposições feitas. O artigo que você menciona cita alguns exemplos, como assumir um modelo linear com ruído não gaussiano . Este caso é conhecido como LINGAN (abreviação de modelo acíclico não gaussiano linear), aqui está um exemplo em R:

library(pcalg)
set.seed(1234)
n <- 500
eps1 <- sign(rnorm(n)) * sqrt(abs(rnorm(n)))
eps2 <- runif(n) - 0.5
x2 <- 3 + eps2
x1 <- 0.9*x2 + 7 + eps1

# runs lingam
X <- cbind(x1, x2)
res <- lingam(X)
as(res, "amat") 

# Adjacency Matrix 'amat' (2 x 2) of type ‘pag’:
#     [,1]  [,2]
# [1,] .     .   
# [2,]  TRUE .     

Observe aqui que temos um modelo causal linear com ruído não gaussiano, em que $x_2$ causa $x_1$ e lingam recupera corretamente a direção causal. No entanto, observe que isso depende criticamente das suposições da LINGAM.

No caso do artigo que você cita, eles fazem essa suposição específica (veja o "postulado"):

Se $x\rightarrow y$ , o comprimento mínimo da descrição do mecanismo de mapeamento de X para Y é independente do valor de X, enquanto o comprimento mínimo da descrição do mecanismo de mapeamento de Y para X depende do valor de Y.

Observe que isso é uma suposição. Isso é o que chamaríamos de "condição de identificação". Essencialmente, o postulado impõe restrições à distribuição conjunta $p(x,y)$ . Ou seja, o postulado diz que se $x \rightarrow y$ certas restrições se mantêm nos dados e se $y \rightarrow x$ outras restrições se mantêm. Esses tipos de restrições que têm implicações testáveis ​​(impõem restrições a $p(y,x)$ ) é o que permite a recuperação direcional de dados observacionais.

Como observação final, os resultados da descoberta causal ainda são muito limitados e, dependendo de fortes suposições, tome cuidado ao aplicá-los no contexto do mundo real.

Há uma variedade de abordagens para formalizar a causalidade (que está de acordo com uma discordância filosófica substancial sobre a causalidade que existe há séculos). Um popular é em termos de resultados potenciais. A abordagem dos resultados potenciais, chamada modelo causal de Rubin , supõe que, para cada estado causal, haja uma variável aleatória diferente. Portanto, $Y_1$ pode ser a variável aleatória de possíveis resultados de um ensaio clínico se um indivíduo tomar o medicamento do estudo e $Y_2$ pode ser a variável aleatória se ele tomar o placebo. O efeito causal é a diferença entre $Y_1$ e $Y_2$ . Se de fato $Y_1 = Y_2$ , poderíamos dizer que o tratamento não tem efeito. Caso contrário, poderíamos dizer que a condição de tratamento causa o resultado.

As relações causais entre variáveis ​​também podem ser representadas com gráficos acílicos direcionais , que têm um sabor muito diferente, mas acabam sendo matematicamente equivalentes ao modelo de Rubin (Wasserman, 2004, seção 17.8).

Wasserman, L. (2004). Todas as estatísticas: um curso conciso de inferência estatística . Nova York, NY: Springer. ISBN 978-0-387-40272-7.

$X$$Y$

1. $X$$Y$

Uma intervenção é uma alteração cirúrgica em uma variável que não afeta as variáveis ​​das quais depende. As intervenções foram formalizadas rigorosamente em equações estruturais e modelos gráficos causais, mas, tanto quanto eu sei, não existe uma definição que seja independente de uma determinada classe de modelo.

2. $Y$$X$

$X$$Y$

Nas abordagens modernas de causalidade, a intervenção é tomada como o objeto primitivo que define as relações causais (definição 1). Na minha opinião, no entanto, a intervenção é um reflexo e necessariamente consistente com a dinâmica da simulação.