Como posso testar se as duas estimativas de parâmetros no mesmo modelo são significativamente diferentes?

Eu tenho o modelo

$$y=x^a \times z^b + e$$

onde é a variável dependente, e são variáveis ​​explicativas, e são os parâmetros e é um termo de erro. Eu tenho as estimativas dos parâmetros de e e uma matriz de covariância dessas estimativas. Como faço para testar se e são significativamente diferentes?$y$$x$$z$$a$$b$$e$$a$$b$$a$$b$

Avaliar a hipótese de que $a$ e $b$ são diferentes equivale a testar a hipótese nula $a - b = 0$ (contra a alternativa que $a-b\ne 0$ ).

Os seguintes presume análise é razoável para que você possa estimar $a-b$ como

$$U = \hat a - \hat b.$$ Também aceita a formulação do seu modelo (que geralmente é razoável), que - porque os erros são aditivos (e podem até produzir valores negativos observados de $y$ ) - não nos permite linearizá-lo usando logaritmos de ambos os lados.

A variância de $U$ pode ser expressa em termos da matriz de covariância $(c_{ij})$ de como$(\hat a, \hat b)$

$$\operatorname{Var}(U) = \operatorname{Var}(\hat a - \hat b) = \operatorname{Var}(\hat a) + \operatorname{Var}(\hat b) - 2 \operatorname{Cov}(\hat a, \hat b) = c_{11} + c_{22} - 2c_{12}^2.$$

Quando é estimado com menos quadrados, geralmente se usa um "teste t"; isto é, a distribuição de é aproximada por uma distribuição t de Student com graus de liberdade (onde é a contagem de dados e conta o número de coeficientes ) Independentemente disso, geralmente é a base de qualquer teste. Você pode executar um teste Z (quando é grande ou ao ajustar com Máxima Verossimilhança) ou inicializá-lo, por exemplo.$(\hat a, \hat b)$

$$t = U / \sqrt{\operatorname{Var(U)}}$$ $n-2$$n$$2$$t$$n$

Para ser específico, o valor p do teste t é dado por

$$p = 2t_{n-2}(-|t|)$$

onde é a função de distribuição t (cumulativa) de Student. É uma expressão para a "área da cauda": a chance de uma variável t de Student (de graus de liberdade) ser igual ou superior ao tamanho da estatística de teste,$t_{n-2}$$n-2$$|t|.$

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De maneira mais geral, para os números e você pode usar exatamente a mesma abordagem para testar qualquer hipótese$c_1,$ $c_2,$$\mu$

$$H_0: c_1 a + c_2 b = \mu$$

contra a alternativa bilateral. (Isso abrange o caso especial, mas generalizado, de um "contraste" .) Use a matriz de variância-covariância estimada $(c_{ij})$ para estimar a variação de $U = c_1 a + c_2 b$ e formar a estatística

$$t = (c_1 \hat a + c_2 \hat b - \mu) / \sqrt{\operatorname{Var}(U)}.$$

O precedente é o caso $(c_1,c_2) = (1,-1)$ e $\mu=0.$

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Para verificar se esse conselho está correto, executei o Rcódigo a seguir para criar dados de acordo com este modelo (com erros normalmente distribuídos e), ajustá-los e calcular os valores de $t$ várias vezes. A verificação é de que o gráfico de probabilidade de $t$ (com base na distribuição t assumida de Student) segue de perto a diagonal. Aqui é que a trama numa simulação de tamanho $500$ , onde $n=5$ (um conjunto de dados muito pequeno, escolhido porque o $t$ distribuição está longe de ser normal) e $a=b=-1/2.$

Neste exemplo, pelo menos, o procedimento funciona perfeitamente. Considere executar novamente a simulação usando os parâmetros $a,$ $b,$ $\sigma$ (desvio padrão do erro) $n$ que refletem sua situação.

Aqui está o código.

#
# Specify the true parameters.
#
set.seed(17)
a <- -1/2
b <- -1/2
sigma <- 0.25 # Variance of the errors
n <- 5        # Sample size
n.sim <- 500  # Simulation size
#
# Specify the hypothesis.
#
H.0 <- c(1, -1) # Coefficients of `a` and `b`.
mu <- 0 
#
# Provide x and z values in terms of their logarithms.
#
log.x <- log(rexp(n))
log.z <- log(rexp(n))
#
# Compute y without error.
#
y.0 <- exp(a * log.x + b * log.z)
#
# Conduct a simulation to estimate the sampling distribution of the t statistic.
#
sim <- replicate(n.sim, {
  #
  # Add the errors.
  #
  e <- rnorm(n, 0, sigma)
  df <- data.frame(log.x=log.x, log.z=log.z, y.0, y=y.0 + e)
  #
  # Guess the solution.
  #
  fit.ols <- lm(log(y) ~ log.x + log.z - 1, subset(df, y > 0))
  start <- coefficients(fit.ols) # Initial values of (a.hat, b.hat)
  #
  # Polish it using nonlinear least squares.
  #
  fit <- nls(y ~ exp(a * log.x + b * log.z), df, list(a=start[1], b=start[2]))
  #
  # Test a hypothesis.
  #
  cc <- vcov(fit)
  s <- sqrt((H.0 %*% cc %*% H.0))
  (crossprod(H.0, coef(fit)) - mu) / s
})
#
# Display the simulation results.
#
summary(lm(sort(sim) ~ 0 + ppoints(length(sim))))
qqplot(qt(ppoints(length(sim)), df=n-2), sim, 
       pch=21, bg="#00000010", col="#00000040",
       xlab="Student t reference value", 
       ylab="Test statistic")
abline(0:1, col="Red", lwd=2)