O que significa dizer que têm uma distribuição normal "comum"?

Uma pergunta de exercício faz

Sejam rvs com uma distribuição normal comum com . Calcule o coeficiente de dependência da cauda superior para todos .$X_1, X_2$$N(0,1)$$\operatorname{Corr}(X_1, X_2) = \rho$$\rho \in [-1, 1]$

O que significa dizer que eles têm uma distribuição normal "comum"?

Meu primeiro pensamento foi que eles queriam dizer que e são variáveis ​​distribuídas normais univariadas . No entanto, se isso for verdade, então a pergunta não faz sentido. A dependência da cauda não pode ser calculada.$X_1$$X_2$$N(0,1)$

Portanto, acredito que por distribuição normal "comum", eles significam a distribuição normal bivariada?

Isso significa que duas coisas são verdadeiras.

Primeiro:

$$P(X_1 < t) = P(X_2 < t)$$

para todos os números reais (ou seja, e têm a mesma distribuição, geralmente a abreviação equidistribuída é usada para descrever essa condição).$t$$X_1$$X_2$

Segundo:

$$P(X_1 < t) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^t e^{\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}} \,\text{d}x$$

para alguns números fixos e (ou seja, a distribuição de (*) é uma distribuição normal).$\mu$$\sigma$$X_1$

Isso não implica que $(X_1, X_2)$ seja normal da articulação sem outras suposições. Se isso foi intencional, não é o que o autor realmente escreveu.

(*) Dada a primeira condição, isso implica que a distribuição de $X_2$ também é uma distribuição normal.

Eu acho que "comum" aqui significa apenas que a distribuição marginal $\text{N}(0,1)$ é comum a ambas as variáveis ​​aleatórias (ou seja, elas têm a mesma distribuição marginal). Embora tecnicamente isso seja insuficiente para fornecer uma distribuição normal bivariada, acho que o escritor provavelmente pretendia essa forma:

$$\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} \sim \text{N} \Big( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{bmatrix} \Big).$$

Essa especificação produziria distribuições marginais comuns $X \sim \text{N}(0,1)$ e $Y \sim \text{N}(0,1)$ . Se eu fosse você, sugeriria observar esse tecnicismo e prosseguir com base no fato de que as variáveis ​​aleatórias são normais bivariadas. Convém anotar o problema novamente como uma advertência depois de responder.

O exercício está mal formulado. Eu suspeito que o que se quer dizer é que as duas variáveis ​​aleatórias são conjuntamente normais e têm uma distribuição comum. Se elas são normais separadamente, mas não são normais em conjunto, não há informações suficientes para responder à pergunta. Se minha suspeita estiver certa, o exercício deveria ter dito que são conjuntamente normais.

Ter uma distribuição "comum" significa simplesmente que ambos têm a mesma distribuição. Portanto:

$$\begin{align} \require{cancel} & \left[ \begin{array}{l} X_1 \\ X_2 \end{array} \right] \sim \xcancel{\operatorname N\left( \left[ \begin{array}{l} \mu_1 \\ \mu_2 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} \sigma_1^2 & \rho \sigma_1\sigma_2 \\ \rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2 \end{array} \right] \right)} & & \longleftarrow \text{ not common} \\[10pt] & \left[ \begin{array}{l} X_1 \\ X_2 \end{array} \right] \sim \operatorname N\left( \left[ \begin{array}{l} \mu \\ \mu \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} \sigma^2 & \rho \sigma^2 \\ \rho\sigma^2 & \sigma^2 \end{array} \right] \right) & & \longleftarrow\text{ common} \end{align}$$ $X_i\sim\operatorname N(\mu,\sigma^2)$$i=1,2,$