Convergência da função de covariância de Matérn com a exponencial ao quadrado

A função de covariância de Matérn converge para a função de covariância exponencial ao quadrado.

Muitas fontes, entre elas o livro GPML e a Wikipedia , afirmam esse resultado. Nenhum deles fornece detalhes.

Estou procurando referências que forneçam detalhes e uma prova. Em particular, me pergunto sobre o tipo de convergência.

— Paris
fonte

A função Matérn pode ser escrita em termos de

\begin{matrix} (*) & f_{ν} (x) = C_{ν} | x |^{ν} K_{ν} (| x |) \end{matrix}

$f_{\nu}(x) = C_\nu |x|^{\nu} K_{\nu}\left(|x|\right)\tag{*}$

onde é uma constante de normalização (para tornar o valor de igual a ) $C_\nu$ $f_\nu(0)$ $1$ $x = \sqrt{2\nu}\, d/\rho.$

(Isso concorda com a notação da Wikipedia em que representa ) $x$ $\sqrt{2\nu} d/\rho.$

Como mostrado na função de geração de momento do produto interno de dois vetores aleatórios gaussianos (usando técnicas elementares),

a função Mãe é proporcional à função densidade para a distribuição do produto escalar de dois vetores aleatórios, onde cada um tem componentes e todos os componentes são distribuídos independentemente como variáveis normais padrão. $2\nu+1$

Esse produto interno é a soma dos independentes e identicamente distribuídos dos componentes correspondentes dos vetores. Cada um deles é o produto de duas variáveis normais padrão independentes e e, portanto, tem média e variância $2\nu+1$ $X$ $Y$ $0$

Var (X Y) = E [(X Y)^{2}] = E [X^{2}] E [Y^{2}] = (1) (1) = 1.

$\operatorname{Var}(XY) = E[(XY)^2] = E[X^2]E[Y^2] = (1)(1) = 1.$

Consequentemente, o produto interno possui média e variação $(2\nu+1)(0) = 0$ $(2\nu+1)(1)=2\nu+1.$

O Teorema do Limite Central afirma que as versões normalizadas desses produtos internos se aproximam de uma distribuição normal padrão com quase certeza. O efeito da normalização é substituir pela raiz quadrada de sua variância, que altera o elemento de probabilidade por $x$ $x\sqrt{2\nu+1},$ $f_{\nu}(x)\mathrm{d}x$

f_{ν} (x \sqrt{2 ν + 1}) d (x \sqrt{2 ν + 1}) = \sqrt{2 ν + 1} f_{ν} (x \sqrt{2 ν + 1}) d x .

$f_{\nu}(x\sqrt{2\nu+1})\mathrm{d}(x\sqrt{2\nu+1}) = \sqrt{2\nu+1} f_{\nu}(x\sqrt{2\nu+1})\mathrm{d}x.$

Isso difere de (onde podemos tomar sem perda de generalidade, porque apenas estabelece a unidade de medida da distância) apenas na medida em que é multiplicado por vez deComo a proporção desses termos se aproxima da unidade, no limite não faz diferença qual deles é usado. Consequentemente, a convergência é quase certa. $(*)$ $\rho=1$ $x$ $\sqrt{2\nu+1}$ $\sqrt{2\nu}.$

Uma pequena minúcia é que, como é normalizado para ter uma altura de pico igual a que é vezes a altura de pico da densidade normal padrão, a convergência é vezes a densidade normal padrão em vez da densidade em si. -Re introduzir o fator de escala , nós ter deduzido - usando o pensamento puramente estatística - que $f_\nu$ $1,$ $\sqrt{2\pi}$ $\sqrt{2\pi}$ $\rho$

$lim_{ν \to \infty} f_{ν} (d) = \exp (- \frac{d^{2}}{2 ρ^{2}})$ $\lim_{\nu\to\infty} f_\nu(d) = \exp\left(-\frac{d^2}{2\rho^2}\right)$ quase certamente.

Isso concorda com o que a Wikipedia afirma .

Este gráfico mostra gráficos de (azul), (vermelho) e o gaussiano limitador (ouro). A convergência ocorre puxando a cauda para preencher o pico. $f_2$ $f_5$

— whuber
fonte

+1 para os detalhes, eu aprendi algo aqui. Você conhece uma referência citável também?

— paris

Alguns textos geoestatísticos descrevem a família Matérn, mas não conheço nenhum que use a abordagem adotada aqui para demonstrar convergência à forma gaussiana (exponencial ao quadrado).

— whuber