Convergência da função de covariância de Matérn com a exponencial ao quadrado


Respostas:


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A função Matérn pode ser escrita em termos de

(*)fν(x)=Cν|x|νKν(|x|)

onde é uma constante de normalização (para tornar o valor de igual a )Cνfν(0)1x=2νd/ρ.

(Isso concorda com a notação da Wikipedia em que representa )x2νd/ρ.

Como mostrado na função de geração de momento do produto interno de dois vetores aleatórios gaussianos (usando técnicas elementares),

a função Mãe é proporcional à função densidade para a distribuição do produto escalar de dois vetores aleatórios, onde cada um tem componentes e todos os componentes são distribuídos independentemente como variáveis ​​normais padrão.2ν+1

Esse produto interno é a soma dos independentes e identicamente distribuídos dos componentes correspondentes dos vetores. Cada um deles é o produto de duas variáveis ​​normais padrão independentes e e, portanto, tem média e variância2ν+1XY0

Var(XY)=E[(XY)2]=E[X2]E[Y2]=(1)(1)=1.

Consequentemente, o produto interno possui média e variação(2ν+1)(0)=0(2ν+1)(1)=2ν+1.

O Teorema do Limite Central afirma que as versões normalizadas desses produtos internos se aproximam de uma distribuição normal padrão com quase certeza. O efeito da normalização é substituir pela raiz quadrada de sua variância, que altera o elemento de probabilidade porxx2ν+1,fν(x)dx

fν(x2ν+1)d(x2ν+1)=2ν+1fν(x2ν+1)dx.

Isso difere de (onde podemos tomar sem perda de generalidade, porque apenas estabelece a unidade de medida da distância) apenas na medida em que é multiplicado por vez deComo a proporção desses termos se aproxima da unidade, no limite não faz diferença qual deles é usado. Consequentemente, a convergência é quase certa.()ρ=1x2ν+12ν.

Uma pequena minúcia é que, como é normalizado para ter uma altura de pico igual a que é vezes a altura de pico da densidade normal padrão, a convergência é vezes a densidade normal padrão em vez da densidade em si. -Re introduzir o fator de escala , nós ter deduzido - usando o pensamento puramente estatística - quefν1,2π2πρ

limνfν(d)=exp(d22ρ2)
quase certamente.

Isso concorda com o que a Wikipedia afirma .

![Figura

Este gráfico mostra gráficos de (azul), (vermelho) e o gaussiano limitador (ouro). A convergência ocorre puxando a cauda para preencher o pico.f2f5


+1 para os detalhes, eu aprendi algo aqui. Você conhece uma referência citável também?
paris

Alguns textos geoestatísticos descrevem a família Matérn, mas não conheço nenhum que use a abordagem adotada aqui para demonstrar convergência à forma gaussiana (exponencial ao quadrado).
whuber
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