Covariância de uma variável e uma combinação linear de outras variáveis

Sejam variáveis de séries temporais e a covariância entre quaisquer dois pares destes é conhecida. $X,A,B,C,D$

Suponha que desejamos encontrar , onde são constantes. $\textrm{cov}(X,aA + bB + cC + dD)$ $a,b,c,d$

Existe alguma maneira de fazer isso sem expandir ? $E[(X-E[X])(aA+......)]$

correlation variance covariance

Existe alguma maneira de fazer isso sem expandir para fora ? $E[(X-E[X])(aA+......)]$

Sim. Existe uma propriedade de covariância chamada bilinearidade que é a covariância de uma combinação linear

c o v (uma X + b Y, c W + d Z)

${\rm cov}(aX + bY, cW + dZ)$

$a,b,c,d$ $X,Y,W,Z$

uma c \cdot c o v (X, W) + uma d \cdot c o v (X, Z) + b c \cdot c o v (Y, W) + b d \cdot c o v (Y, Z)

$ac\cdot {\rm cov}(X,W) + ad\cdot {\rm cov}(X,Z) + bc\cdot {\rm cov}(Y,W) + bd\cdot {\rm cov}(Y,Z)$

$\textrm{cov}(X,aA + bB + cC + dD)$

uma c o v (X, UMA) + b c o v (X, B) + c c o v (X, C) + d c o v (X, D)

$a\ {\rm cov}(X, A) +b\ {\rm cov}(X, B) +c\ {\rm cov}(X, C) +d\ {\rm cov}(X, D)$

— Macro
fonte

c o v (X, a A + b X)

$cov(X,aA + bX)$

c o v (X, X) = v a r (X)

${\rm cov}(X,X) = {\rm var}(X)$

c o v (X, a A + b X) = a c o v (X, A) + b v a r (X)

${\rm cov}(X,aA+bX) = a \ {\rm cov}(X,A) + b \ {\rm var}(X)$