Tamanho mínimo da amostra por cluster em um modelo de efeito aleatório

Existe um racional para o número de observações por cluster em um modelo de efeito aleatório? Eu tenho um tamanho de amostra de 1.500 com 700 clusters modelados como efeito aleatório intercambiável. Eu tenho a opção de mesclar clusters para criar menos, mas clusters maiores. Pergunto-me como posso escolher o tamanho mínimo da amostra por cluster para ter resultados significativos na previsão do efeito aleatório de cada cluster? Existe um bom artigo que explica isso?

TL; DR : O tamanho mínimo da amostra por cluster em um modelo de efeitos mistos é 1, desde que o número de clusters seja adequado e a proporção de cluster singleton não seja "muito alta"

Versão mais longa:

Em geral, o número de clusters é mais importante que o número de observações por cluster. Com 700, claramente você não tem nenhum problema lá.

Pequenos tamanhos de cluster são bastante comuns, especialmente em pesquisas de ciências sociais que seguem projetos de amostragem estratificados, e há um corpo de pesquisa que investigou o tamanho da amostra no nível de cluster.

Embora o aumento do tamanho do cluster aumente o poder estatístico para estimar os efeitos aleatórios (Austin & Leckie, 2018), pequenos tamanhos de cluster não levam a um viés grave (Bell et al, 2008; Clarke, 2008; Clarke e Wheaton, 2007; Maas & Hox 2005). Assim, o tamanho mínimo da amostra por cluster é 1.

Bell, et al (2008), em particular, realizaram um estudo de simulação de Monte Carlo com proporções de clusters singleton (clusters contendo apenas uma única observação) variando de 0% a 70% e descobriram que, desde que o número de clusters fosse grande (~ 500) os pequenos tamanhos de cluster quase não tiveram impacto no viés e no controle de erros do Tipo 1.

Eles também relataram muito poucos problemas com a convergência de modelos em qualquer um de seus cenários de modelagem.

Para o cenário específico no OP, sugiro executar o modelo com 700 clusters na primeira instância. A menos que houvesse um problema claro com isso, eu não estaria inclinado a mesclar clusters. Eu executei uma simulação simples no R:

Aqui, criamos um conjunto de dados em cluster com uma variação residual de 1, um único efeito fixo também de 1, 700 clusters, dos quais 690 são singletons e 10 têm apenas 2 observações. Executamos a simulação 1000 vezes e observamos os histogramas dos efeitos aleatórios fixos e residuais estimados.

> set.seed(15)
> dtB <- expand.grid(Subject = 1:700, measure = c(1))
> dtB <- rbind(dtB, dtB[691:700, ])
> fixef.v <- numeric(1000)
> ranef.v <- numeric(1000)
> for (i in 1:1000) { 
   dtB$x <- rnorm(nrow(dtB), 0, 1)
   dtB$y <- dtB$Subject/100 + rnorm(nrow(dtB), 0, 1) + dtB$x * 1

   fm0B <- lmer(y ~ x + (1|Subject), data = dtB)
   fixef.v[i] <- fixef(fm0B)[[2]]
   ranef.v[i] <- attr(VarCorr(fm0B), "sc")
 }
> hist(fixef.v, breaks = 15)
> hist(ranef.v, breaks = 15)

Como você pode ver, os efeitos fixos são muito bem estimados, enquanto os efeitos aleatórios residuais parecem um pouco tendenciosos para baixo, mas não drasticamente:

> summary(fixef.v)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
 0.6479  0.9439  0.9992  1.0005  1.0578  1.2544 
> summary(ranef.v)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
 0.2796  0.7745  0.9004  0.8993  1.0212  1.4837 

O OP menciona especificamente a estimativa de efeitos aleatórios no nível de cluster. Na simulação acima, os efeitos aleatórios foram criados simplesmente como o valor do SubjectID de cada um (reduzido em um fator de 100). Obviamente, eles não são normalmente distribuídos, o que é a suposição de modelos lineares de efeitos mistos; no entanto, podemos extrair os (modos condicionais) dos efeitos no nível do cluster e plotá-los nos SubjectIDs reais :

> re <- ranef(fm0B)[[1]][, 1]
> dtB$re <- append(re, re[691:700])
> hist(dtB$re)
> plot(dtB$re, dtB$Subject)

O histograma se afasta um pouco da normalidade, mas isso se deve à maneira como simulamos os dados. Ainda existe uma relação razoável entre os efeitos aleatórios estimados e reais.

Referências:

Peter C. Austin & George Leckie (2018) O efeito do número de clusters e do tamanho do cluster na potência estatística e nas taxas de erro Tipo I ao testar componentes de variação de efeitos aleatórios em modelos de regressão linear e logística multinível, Journal of Statistical Computation and Simulation, 88: 16, 3151-3163, DOI: 10.1080 / 00949655.2018.1504945

Bell, BA, Ferron, JM e Kromrey, JD (2008). Tamanho de cluster em modelos multiníveis: o impacto de estruturas de dados esparsas nas estimativas de ponto e intervalo em modelos de dois níveis . JSM Proceedings, Seção on Survey Research Methods, 1122-1129.

Clarke, P. (2008). Quando o cluster no nível do grupo pode ser ignorado? Modelos multinível versus modelos de nível único com dados esparsos . Journal of Epidemiology and Community Health, 62 (8), 752-758.

Clarke, P. & Wheaton, B. (2007). Abordar a escassez de dados na pesquisa contextual da população usando análise de cluster para criar bairros sintéticos . Sociological Methods & Research, 35 (3), 311-351.

Maas, CJ e Hox, JJ (2005). Tamanhos de amostra suficientes para modelagem multinível . Metodologia, 1 (3), 86-92.

Em modelos mistos, os efeitos aleatórios são mais frequentemente estimados usando a metodologia empírica de Bayes. Uma característica dessa metodologia é o encolhimento. Nomeadamente, os efeitos aleatórios estimados são reduzidos em relação à média geral do modelo descrito pela parte de efeitos fixos. O grau de encolhimento depende de dois componentes:

1. A magnitude da variação dos efeitos aleatórios em comparação com a magnitude da variação dos termos de erro. Quanto maior a variação dos efeitos aleatórios em relação à variação dos termos de erro, menor o grau de contração.

2. O número de medições repetidas nos clusters. As estimativas de efeitos aleatórios de clusters com medições mais repetidas são reduzidas menos em relação à média geral em comparação com clusters com menos medições.

No seu caso, o segundo ponto é mais relevante. No entanto, observe que a solução sugerida para mesclar clusters também pode afetar o primeiro ponto.