É necessário centralizar ao inicializar a amostra?

Ao ler sobre como aproximar a distribuição da amostra, me deparei com o método de inicialização não paramétrico. Aparentemente, pode-se aproximar a distribuição de pela distribuição de ˉ X ∗ n - ˉ X n , onde ˉ X ∗ $\bar{X}_n-\mu$$\bar{X}_n^*-\bar{X}_n$$\bar{X}_n^*$ denota a média da amostra da amostra de bootstrap.

Minha pergunta então é: eu preciso da centralização? Pelo que?

Eu não poderia apenas aproximar por P ( ˉ X ∗ n ≤ x ) ?$\mathbb{P}\left(\bar{X}_n \leq x\right)$$\mathbb{P}\left(\bar{X}_n^* \leq x\right)$

Sim, você pode aproximar por P ( ˉ X ∗ n ≤ x ), mas não é o ideal. Essa é uma forma de autoinicialização de percentil. No entanto, o bootstrap de percentil não terá um bom desempenho se você estiver tentando fazer inferências sobre a população, a menos que você tenha um tamanho de amostra grande. (Ele funciona bem com muitos outros problemas de inferência, inclusive quando o tamanho da amostra é pequeno.) Eu tomo esta conclusão das Estatísticas Modernas de Wilcox para as Ciências Sociais e Comportamentais$\mathbb{P}\left(\bar{X}_n \leq x\right)$$\mathbb{P}\left(\bar{X}_n^* \leq x\right)$ , CRC Press, 2012. Uma prova teórica está além de mim, receio. .

Uma variante da abordagem de centralização vai para o próximo passo e dimensiona sua estatística de autoinicialização centralizada com o desvio padrão da amostra e o tamanho da amostra, calculando da mesma maneira que na estatística. Os quantis da distribuição dessas estatísticas t podem ser usados ​​para construir um intervalo de confiança ou realizar um teste de hipótese. Este é o método bootstrap-t e fornece resultados superiores ao fazer inferências sobre a média.

Deixei $s^*$

$T^*=\frac{\bar{X}_n^*-\bar{X}}{s^*/\sqrt{n}}$

$T^*$$\mu$

$\bar{X}-T^*_{0.975} \frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{X}-T^*_{0.025} \frac{s}{\sqrt{n}}$

Considere os resultados da simulação abaixo, mostrando que, com uma distribuição mista mal distorcida, os intervalos de confiança desse método contêm o valor verdadeiro com mais frequência do que o método de autoinicialização por percentil ou uma inversão tradicional da estatística sem autoinicialização.

compare.boots <- function(samp, reps = 599){
    # "samp" is the actual original observed sample
    # "s" is a re-sample for bootstrap purposes

    n <- length(samp)

    boot.t <- numeric(reps)
    boot.p <- numeric(reps)

    for(i in 1:reps){
        s <- sample(samp, replace=TRUE)
        boot.t[i] <- (mean(s)-mean(samp)) / (sd(s)/sqrt(n))
        boot.p[i] <- mean(s)
    }

    conf.t <- mean(samp)-quantile(boot.t, probs=c(0.975,0.025))*sd(samp)/sqrt(n)
    conf.p <- quantile(boot.p, probs=c(0.025, 0.975))

    return(rbind(conf.t, conf.p, "Trad T test"=t.test(samp)$conf.int))
}

# Tests below will be for case where sample size is 15
n <- 15

# Create a population that is normally distributed
set.seed(123)
pop <- rnorm(1000,10,1)
my.sample <- sample(pop,n)
# All three methods have similar results when normally distributed
compare.boots(my.sample)

Isso fornece o seguinte (conf.t é o método de autoinicialização t; conf.p é o método de autoinicialização por percentil).

          97.5%     2.5%
conf.t      9.648824 10.98006
conf.p      9.808311 10.95964
Trad T test 9.681865 11.01644

Com um único exemplo de uma distribuição distorcida:

# create a population that is a mixture of two normal and one gamma distribution
set.seed(123)
pop <- c(rnorm(1000,10,2),rgamma(3000,3,1)*4, rnorm(200,45,7))
my.sample <- sample(pop,n)
mean(pop)
compare.boots(my.sample)

Isso fornece o seguinte. Observe que "conf.t" - a versão bootstrap t - oferece um intervalo de confiança mais amplo que os outros dois. Basicamente, é melhor responder à distribuição incomum da população.

> mean(pop)
[1] 13.02341
> compare.boots(my.sample)
                97.5%     2.5%
conf.t      10.432285 29.54331
conf.p       9.813542 19.67761
Trad T test  8.312949 20.24093

Finalmente, aqui estão milhares de simulações para ver qual versão fornece intervalos de confiança mais frequentemente corretos:

# simulation study
set.seed(123)
sims <- 1000
results <- matrix(FALSE, sims,3)
colnames(results) <- c("Bootstrap T", "Bootstrap percentile", "Trad T test")

for(i in 1:sims){
    pop <- c(rnorm(1000,10,2),rgamma(3000,3,1)*4, rnorm(200,45,7))
    my.sample <- sample(pop,n)
    mu <- mean(pop)
    x <- compare.boots(my.sample)
    for(j in 1:3){
        results[i,j] <- x[j,1] < mu & x[j,2] > mu
    }
}

apply(results,2,sum)

Isso fornece os resultados abaixo - os números são os tempos em mil em que o intervalo de confiança contém o valor real de uma população simulada. Observe que a verdadeira taxa de sucesso de todas as versões é consideravelmente menor que 95%.

     Bootstrap T Bootstrap percentile          Trad T test 
             901                  854                  890