Distribuição da soma dos exponenciais independentes com número aleatório de somas

Deixei $\tau_i\sim\exp\left(\lambda\right)$ ser exponenciais independentes e identicamente distribuídos com o parâmetro $\lambda$. Então, por certo$n$, a soma desses valores

$$T_n := \sum_{i=0}^n \tau_i$$ segue uma distribuição Erlang com função de densidade de probabilidade $$\pi(T_n=T| n,\lambda)={\lambda^n T^{n-1} e^{-\lambda T} \over (n-1)!}\quad\mbox{for }T, \lambda \geq 0.$$

Estou interessado na distribuição de $T_\tilde n$ Onde $\tilde n$ é uma variável aleatória tal que para $\tau_a \sim \exp(\lambda_a)$ distribuído exponencialmente, sustenta que

$$T_\tilde n \leq \tau_a \\T_{\tilde{n}+1} > \tau_a.$$

Em outras palavras, $T_{\tilde n}$é truncado por uma distribuição exponencial. Eu falho em derivar a distribuição de$\tilde n$ mas talvez haja uma maneira mais fácil:

$$\pi\left(\tilde n = k\right) = \pi\left(T_n < \tau_a|n=k\right)\\ =1-\int\limits_{\mathbb{R}^+}\sum\limits_{n=0}^{k-1}\frac{1}{n!}\exp\left(-(\lambda+\lambda_a)\tau_a\right)(\tau\lambda_a)^n\lambda_ad\tau_a.$$

No entanto, apenas a amostragem e os olhares me parecem que essa densidade não é tão feia:

iter <- 20000

lambda_a <- 1
lambda <- 2

df <- data.frame(tau=rep(NA, iter), a=rep(NA, iter))

for(i in 1:iter){
    set.seed(i)
    a <- rexp(1, rate = lambda_a)
    s <- cumsum(rexp(500, rate = lambda))

    df[i,] <- c(max(s[1], s[s<a]), a)
}

library(tidyverse)

ggplot(df %>% gather(), aes(x = value, fill = key)) +
geom_density(alpha = .3) + theme_bw()

Conforme detalhado nesta resposta validada por X , aguardando uma soma de ID exponencial$\mathcal E(\lambda)$ variáveis ​​para exceder um produz um Poisson $\mathcal P(\lambda)$ variado $N$. Portanto, aguardando uma soma de ID exponencial$\mathcal E(\lambda)$ variáveis ​​a exceder $\tau_a$ produz um Poisson $\mathcal P(\tau_a\lambda)$ variado $N$, condicional em $\tau_a$ (desde a divisão da soma por $\tau_a$ montantes para multiplicar o parâmetro exponencial por $\tau_a$. Portanto

$$\begin{align*} \mathbb P(N=n)&=\int_0^\infty \mathbb P(N=n|\tau_a) \,\lambda_a e^{-\lambda_a\tau_a}\,\text{d}\tau_a\\ &= \int_0^\infty \dfrac{(\lambda\tau_a)^n}{n!}\,e^{-\tau_a\lambda} \,\lambda_a e^{-\lambda_a\tau_a}\,\text{d}\tau_a\\ &=\dfrac{\lambda_a\lambda^n}{n!}\,\int_0^\infty \tau_a^n\,e^{-\tau_a(\lambda+\lambda_a)} \,\text{d}\tau_a\\ &=\dfrac{\lambda_a\lambda^n}{n!}\,\dfrac{\Gamma(n+1)}{(\lambda_a+\lambda)^{n+1}}=\dfrac{\lambda_a\lambda^n}{(\lambda_a+\lambda)^{n+1}} \end{align*}$$ que é um geométrico $\mathcal G(\lambda_a/\{\lambda_a+\lambda\})$variável aleatória. (Aqui a variável geométrica é um número de falhas, o que significa que seu suporte começa em zero.)

Considerando agora $N$ como um número geométrico de tentativas, $N\ge 1$, a distribuição de

$$\zeta=\sum_{i=1}^N \tau_i$$ o momento gerando função de $\zeta$ é $$\mathbb E[e^{z\zeta}]=\mathbb E[e^{z\{\tau_1+\cdots+\tau_N\}}]=\mathbb E^N[\mathbb E^{\tau_1}[e^{z\tau_1}]^N]=E^N[\{\lambda/(\lambda-z)\}^N]=E^N[e^{N(\ln \lambda-\ln (\lambda-z))}]$$ e o mgf de um geométrico $\mathcal G(p)$ variado é $$\varphi_N(z)=\dfrac{pe^z}{1-(1-p)e^z}$$ Daí a função geradora de momento de $\zeta$ é $$\dfrac{pe^{\ln \lambda-\ln (\lambda-z)}}{1-(1-(\lambda_a/\{\lambda_a+\lambda\}))e^{\ln \lambda-\ln (\lambda-z)}}=\dfrac{p \lambda}{ \lambda-z-\lambda^2/\{\lambda_a+\lambda\}}$$ Onde $p=\lambda_a/\{\lambda_a+\lambda\}$, o que leva ao mfg $$\dfrac{\lambda\lambda_a/\{\lambda_a+\lambda\}}{ \lambda-z-\lambda\lambda_a/\{\lambda_a+\lambda\}^2}=\dfrac{1}{1-z(p\lambda)^{-1}}$$ significa que $\zeta$ é um exponencial $\mathcal{E}(\lambda\lambda_a/\{\lambda_a+\lambda\})$ variado.