Função logística com uma inclinação, mas sem assíntotas?

A função logística possui uma faixa de saída de 0 a 1 e a inclinação assintótica é zero em ambos os lados.

O que é uma alternativa a uma função logística que não fica completamente achatada em seus fins? Quais declives assintóticos estão se aproximando de zero, mas não de zero, e o alcance é infinito?

sigmoid-curve

— Aksakal
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O título parece discordar de como eu li sua pergunta - essa nova função é necessária para ter assíntotas ou não?

— JLD

Basicamente eu quero uma função que se parece com sigmóide, mas tem uma inclinação

— Aksakal

Certo, um sigmóide como a forma que não achatar completamente, por exemplo, função log não completamente achatar

— Aksakal

sign (x) \log (1 + | x |)

$\operatorname{sign}(x)\log(1 + |x|)$ ?

— Steveo'america 20/03/19

A partir do início da década, ele deseja que suas funções de ativação de rede neural voltem. (Desculpe piada de mau gosto, mas realisticamente é por isso que as pessoas se mudou para Relus) (+1 porém, questão relevante)

— usεr11852

Respostas:

Você pode simplesmente adicionar um termo a uma função logística :

f (x; a, b, c, d, e) = \frac{a}{1 + b \exp (- c x)} + d x + e

$f(x; a, b, c, d, e)=\frac{a}{1+b\exp(-cx)} + dx + e$

As assíntotas terão inclinações $d$ .

Aqui está um exemplo com $a=10, b = 1, c = 2, d = \frac{1}{20}, e = -5$ :

— COOLSerdash
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Eu acho que essa resposta é a melhor, porque se você diminuir o zoom o suficiente, é apenas uma linha reta com um pequeno movimento no meio. Dá o comportamento mais intuitivo em geral x, mas mantém a forma sigmóide.

— precisa saber é o seguinte

este parecia estar a trabalhar para o meu conjunto de dados, e eu peguei, mas a solução não é ideal, pois a inclinação assintótica não diminui

— Aksakal

Inicialmente eu estava pensando que você fez querem as assíntotas horizontais em $0$ ainda; Mudei minha resposta original até o fim. Se você preferir $\lim_{x\to\pm \infty} f(x) = \pm\infty$ , algo como o seno hiperbólico inverso funcionaria?

asinh (x) = registro (x + \sqrt{1 + x^{2}})

$\text{asinh}(x) = \log\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)$

Isso é ilimitado, mas cresce como um $\log$ para grandes $|x|$ e parece

Eu gosto muito dessa função como transformação de dados quando tenho caudas pesadas, mas possivelmente zeros ou valores negativos.

Outra coisa legal dessa função é que $\text{asinh}'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ para que ele tenha uma boa derivada simples.

Resposta original

$\newcommand{\e}{\varepsilon}$ Seja nossa função e assumiremos $f : \mathbb R\to\mathbb R$

lim_{x \to \pm \infty} f (x) = 0

$\lim_{x\to\pm \infty} f(x) = 0.$

Suponha que seja contínuo. Corrija . Das assíntotas que temos e analogamente, existe um tal que . Portanto, fora de está dentro de . E é um intervalo compacto, portanto, pela continuidade é delimitada. $f$ $\e > 0$

\exists x_{1} : x < x_{1} ⟹ | f (x) | < ε

$\exists x_1 : x < x_1 \implies |f(x)| < \e$

x_{2}

$x_2$

x > x_{2} ⟹ | f (x) | < ε

$x > x_2 \implies |f(x)| < \e$

[x_{1}, x_{2}]

$[x_1,x_2]$

f

$f$

(- ε, ε)

$(-\e, \e)$

[x_{1}, x_{2}]

$[x_1,x_2]$

f

$f$

Isso significa que qualquer função não pode ser contínua. Algo como funcionaria?

f (x) = {\begin{cases} x^{- 1} & x \neq 0 0 \\ 0 0 & x = 0 0 \end{cases}

$f(x) = \begin{cases} x^{-1} & x\neq 0 \\ 0 & x = 0\end{cases}$

— jld
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Os tópicos "Relacionados" incluem esta pergunta não respondida, caso alguém mais se faça o acompanhamento natural "o que acontece se você usar asinh em uma rede neural?" stats.stackexchange.com/questions/359245/…

— Sycorax diz Restabelecer Monica

Meus ouvidos realmente doeram. No passado, achei asinh () útil quando você deseja 'fazer coisas de log' para números positivos e negativos. Ele também fica em torno do dilema pode entrar em, onde você precisa fazer um registro transformar em dados com zeros e tem que julgar um valor apropriado de para

a

$a$

l o g (x + a)

$log(x + a)$

— Ingolifs

como você pode parametrizar esta função para mudar sua forma? em particular, para regular a inclinação no ponto de inflexão

— Aksakal

@Aksakal se , apenas fazer manteria a forma e assintóticos iguais e a derivada é então a inclinação é zero é apenas

a > 0

$a > 0$

a \cdot asinh

$a\cdot\text{asinh}$

\frac{a}{\sqrt{1 + x^{2}}}

$\frac{a}{\sqrt{1+x^2}}$

a

$a$

— jld 22/03/19

@Aksakal de maneira geral, poderíamos considerar a antiderivada de

\frac{a}{\sqrt{c^{2} + (b x)^{2}}}

$\frac{a}{\sqrt{c^2 + (bx)^2}}$

\frac{uma}{b} registro (b (b x + \sqrt{c^{2} + (b x)^{2}}))

$\frac ab \log\left(b\left(bx + \sqrt{c^2 + (bx)^2}\right)\right)$

a \cdot asinh (b x)

$a\cdot\text{asinh}(bx)$

f (x) = placa (x) registro (1 + | x |),

$f(x) = \operatorname{sign}(x)\log{\left(1 + |x|\right)},$

$|x|\le 30$

— steveo'america
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