Calcular a variação sem calcular a média

Podemos calcular a variância sem usar a média como o ponto 'base'?

— Vai
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Dado , a variação é dada por por definição. O formulário simplifica para . Ou seja, para a variação você precisa . Claro que você pode definir sua própria medida de dispersão usando alguma outra estatística ... ou usar uma das respostas.

E (X^{2}) < \infty

$\mathbb{E}(X^2)<\infty$

σ^{2} = E ((X - E (X))^{2})

$\sigma^2 = \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^2)$

σ^{2} = E (X^{2}) - E (X)^{2}

$\sigma^2 =\mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2$

E (X)

$\mathbb{E}(X)$

— BloXX 26/03/19

Resposta curta: Muitas outras maneiras de resumir a variabilidade (dispersão, dispersão, escala), mas nenhuma das outras seria a variação. (Na verdade, a variação pode ser definida sem referência à média.)

— Nick Cox

Sim: dados dados calcule a covariância de conforme descrito em stats.stackexchange.com/a/18200/919 . Este método nunca calcula a média.

X,

$X,$

(X, X)

$(X,X)$

— whuber

Respostas:

O desvio absoluto mediano é definido como e é considerado uma alternativa ao desvio padrão. Mas essa não é a variação. Em particular, ele sempre existe, independentemente de o permitir ou não momentos. Por exemplo, o MAD de um Cauchy padrão é igual a um, pois

MAD (X) = median | X - median (X) |

$\text{MAD}(X) = \text{median} |X-\text{median}(X)|$

X

$X$

\underset{0 is the median}{\underset{⏟}{P (| X - 0 | < 1)}} = \arctan (1) / π - \arctan (- 1) / π = \frac{1}{2}

$\underbrace{\Bbb P(|X-0|<1)}_\text{0 is the median}=\arctan(1)/\pi-\arctan(-1)/\pi=\frac{1}{2}$

— Xi'an
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Os recém-chegados a essa idéia devem observar também o desvio médio absoluto da média (desvio médio, frequentemente) e o desvio absoluto médio da média. Não me lembro do desvio absoluto médio da mediana, mas estou aberto a exemplos. A abreviação MAD, infelizmente, foi aplicada de várias maneiras; portanto, confie no código das pessoas primeiro, depois em sua definição algébrica ou verbal, mas o uso de uma abreviação MAD apenas de maneira alguma. Nas distribuições simétricas e em outras, o MAD, conforme definido aqui, é metade da faixa interquartil. (Fazendo um trocadilho com MAD eu resisto como um pouco demasiado óbvio.)

— Nick Cox

Além disso, observe que as implementações de software da função média do desvio absoluto podem escalar o valor MAD por um fator constante da forma apresentada nesta resposta, para que seu valor coincida com o desvio padrão para uma distribuição normal.

— EdM

@ Edm Excelente ponto. Pessoalmente, não gosto dessa prática, a menos que as pessoas usem algum termo diferente. Já não é o MAD!

— Nick Cox

@NickCox: o apelo de centralizar na mediana é que a quantidade sempre existe, independentemente de a distribuição gozar de uma média. Esta é a definição encontrada na Wikipedia .

— Xian

MAD é destruição mútua assegurada

— Kjetil b Halvorsen

Já existe uma solução para esta pergunta no Math.stackexchange :

Resumo as respostas:

Você pode usar que a variação seja , que recebe apenas uma passagem (calculando a média e a média dos quadrados simultaneamente), mas pode ser mais propensa a erros de arredondamento se a variação é pequena em comparação com a média. $\overline{x^2} - \overline {x}^2$

Que tal a soma das diferenças quadradas aos pares? De fato, você pode verificar por computação direta que

2 v_{X} = \frac{1}{n (n - 1)} \sum_{1 \leq i < j \leq n} (x_{i} - x_{j})^{2} .

$2v_X = \frac{1}{n(n-1)}\sum_{1 \le i < j \le n}(x_i - x_j)^2.$

A variação da amostra sem média é calculada como: $v_{X} = \frac{1}{n - 1} [\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - \frac{1}{n} {(\sum_{i = 1}^{n} x_{i})}^{2}]$ $v_{X}=\frac{1}{n-1}\left [ \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\frac{1}{n}\left ( \sum_{i=1}^{n}x_{i} \right ) ^{2}\right ]$

— Ferdi
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