Existem exemplos de uma variável que está sendo distribuída normalmente * não * devido ao Teorema do Limite Central?

A distribuição normal parece pouco intuitiva até você aprender o CLT, o que explica por que é tão prevalente na vida real. Mas ela surge como a distribuição "natural" de alguma quantidade?

normal-distribution central-limit-theorem

— Gardenhead
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A teoria física da difusão, na medida em que é aplicável a qualquer sistema, prevê distribuições normais de quantidades (como temperatura ou concentração) que se originam em um ponto. De fato, muitos sistemas são difusivos (preços de opções, transporte de partículas em meios homogêneos etc.), sugerindo que os exemplos são abundantes, supondo que um não seja tão ingênuo a ponto de supor que uma distribuição Normal deve se manter exatamente com valores irrealisticamente grandes ou pequenos - isso seria um mal-entendido de toda teoria física.

— whuber

A distribuição normal parece pouco intuitiva até você aprender que maximiza a entropia sob a restrição de variação fixa.

— leonbloy

Respostas:

Até certo ponto, acho que isso pode ser tanto uma questão filosófica quanto estatística.

Muitos fenômenos que ocorrem naturalmente são distribuídos aproximadamente normalmente. Pode-se argumentar se a causa subjacente disso pode ser algo como o CLT:

Alturas de pessoas podem ser consideradas a soma de muitas causas menores (talvez independentes, improváveis de forma idêntica): comprimentos de vários ossos, resultados de várias expressões gênicas ou resultados de muitas influências alimentares, ou alguma combinação de todos os itens acima. .
As pontuações dos testes podem ser consideradas somas das pontuações em muitas perguntas individuais dos testes (possivelmente distribuídas de forma idêntica, improvável inteiramente independente).
Distância que uma partícula viaja em uma dimensão como resultado do movimento browniano em um fluido: O movimento pode ser considerado abstratamente como uma caminhada aleatória resultante de acertos aleatórios de IDI por moléculas.

$(0, 2\pi).$ que você pode pesquisar no Google.] No entanto, as coordenadas x e y normais podem ser consideradas a soma de muitas pequenas imprecisões na segmentação, o que pode justificar um mecanismo relacionado à CLT em segundo plano.

Em um sentido histórico, o uso generalizado de distribuições normais (gaussianas) em vez de distribuições de dupla exponencial (Laplace) para modelar observações astronômicas pode ser parcialmente devido ao CLT. Nos primeiros dias de modelagem de erros de tais observações, houve um debate entre Gauss e Laplace , cada um defendendo sua própria distribuição favorita. Por várias razões, o modelo normal venceu. Pode-se argumentar que uma das razões para o eventual sucesso da distribuição normal foi a conveniência matemática baseada nos limites normais da CLT. Isso parece verdade mesmo quando não está claro qual família de distribuições fornece o melhor ajuste. (Mesmo agora, ainda existem astrônomos que acham que a "melhor observação"As observações feitas por um astrônomo meticuloso e respeitado têm um valor melhor do que a média de muitas observações feitas por observadores presumivelmente menos dotados. Na verdade, eles prefeririam nenhuma intervenção dos estatísticos.)

— BruceET
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Sim. Ainda corrigindo erros de digitação. Obrigado por perceber este. O mesmo erro nas 'pontuações dos testes' também foi corrigido.

— BruceET

-3

Muitas variáveis que ocorrem naturalmente são normalmente distribuídas. Alturas de humanos? Tamanho de colônias de animais?

— Feliz
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@Happy Na verdade, nenhum exemplo dado aqui é normalmente distribuído, porque o suporte à distribuição normal é -in infinito a + infinito e os exemplos dados nunca podem ser zero ou menos. Em cada caso, a distribuição normal pode ser uma aproximação útil, mas não se você estiver interessado nos detalhes da distribuição.

— JeremyC

A altura humana é o resultado da soma de (aproximadamente) genes independentes; portanto, eles são devidos ao CLT.

— Gardenhead 03/04/19

@ArtemMavrin: obter uma altura negativa seria algo como 8 + desvios padrão. Se alguém objeta que uma aproximação normal não é válida porque coloca massa de probabilidade zero além de 8 sd, você também pode reclamar que um valor verdadeiramente distribuído normalmente é irracional com a probabilidade 1, mas todas as nossas medidas são números racionais.

— Cliff AB

@ArtemMavrin: bem, se a pergunta é algo exatamente normalmente distribuído, essa resposta é simples: não. Nem mesmo rnorm(1). Mesmo com todas as distribuições, exceto multinomial.

— Cliff AB

n \to \infty

$n\to\infty$