Usando comprimento e peso médios para calcular o IMC médio?

É válido usar o comprimento médio ( $h$ ) e o peso médio ( $w$ )) de uma determinada população para calcular o Índice de Massa Corporal médio ( ) para essa população?$BMI = \frac{w}{h^2}$

Matematicamente, não é o caso de que estes sejam necessariamente próximos. Ele iria trabalhar se fosse o caso de que $E(Y/X^2) = E(Y)/E(X)^2$ , mas isso é falso, em geral, e em algumas situações particulares que podem estar muito longe.

No entanto, para um conjunto bastante realista de dados de altura e peso bivariados, parece que o impacto será pequeno.

Por exemplo, considere o modelo para altura e peso masculino adulto nos EUA em Brainard e Burmaster (1992) [1]; esse modelo é um bivariado normal em altura e log (peso), que se ajusta muito bem aos dados de altura e facilita a obtenção de simulações realistas. Um bom modelo para as mulheres é um pouco mais complicado, mas não espero que isso faça muita diferença na qualidade da aproximação do IMC; Eu só vou fazer os machos porque um modelo muito simples é muito bom.

Convertendo o modelo para altura e peso masculino em métrico e simulando 100.000 pontos bivariados em R antes de calcular o IMC individual e, portanto, o IMC médio, bem como o cálculo da altura média em (peso médio), calculado, o resultado foi que o IMC médio era (para quatro figuras) 25,21 e $\bar{h}/\bar{w}^2$ era 25,22, o que parece bem próximo.

Observando o efeito da variação dos parâmetros, parece que o impacto do uso do estimador de médias de variáveis ​​tendencioso para as mulheres provavelmente seria um pouco maior, mas ainda não substancial o suficiente para ser um problema.

Idealmente, algo mais próximo da situação em que você deseja usá-lo deve ser verificado, mas provavelmente será muito bom.

Portanto, para uma situação típica, parece improvável que seja um grande problema na prática.

[1]: Brainard, J. e Burmaster, DE (1992),
"Distribuições bivariadas para altura e peso de homens e mulheres nos Estados Unidos",
Risk Analysis , vol. 12, n. 2, p. 267-275

Não está completamente correto, mas geralmente não fará uma enorme diferença.

Por exemplo, suponha que sua população tenha pesos 80, 90 e 100kg e tenha 1,7, 1,8 e 1,9m de altura. Então, os IMCs são 27,68, 27,78 e 27,70. A média dos IMCs é 27,72. Se você calcular o IMC a partir das médias de pesos e alturas, obtém 27,78, que é um pouco diferente, mas geralmente não deve fazer muita diferença.

Embora eu concorde com as outras respostas de que é provável que esse método se aproxime do IMC médio, gostaria de ressaltar que isso é apenas uma aproximação.

Na verdade, estou inclinado a dizer que você não deve usar o método descrito, pois é simplesmente menos preciso. É trivial calcular o IMC de cada indivíduo e, em seguida, calcular a média, fornecendo o IMC médio real.

Aqui ilustro dois extremos, onde as médias de peso e comprimento permanecem as mesmas, mas o IMC médio é realmente diferente:

Usando o seguinte código (matlab):

weight = [60, 61, 62, 100, 101, 102]; % OUR DATA
length = [1.5, 1.5, 1.5, 1.8, 1.8, 1.8;]; % OUR DATA
length = length.^2;
bmi = weight./length;
scatter(1:size(weight,2), bmi, 'filled');
yline(mean(bmi),'red','LineWidth',2);
yline(mean(weight)/mean(length),'blue','LineWidth',2);
xlabel('Person');
ylabel('BMI');
legend('BMI', 'mean(bmi)', 'mean(weight)/mean(length)', 'Location','northwest');

Nós temos:

Se simplesmente reordenarmos os comprimentos, obteremos um IMC médio diferente, enquanto a média (peso) / média (comprimento ^ 2) permanecerá a mesma:

weight = [60, 61, 62, 100, 101, 102]; % OUR DATA
length = [1.8, 1.8, 1.8, 1.5, 1.5, 1.5;]; % OUR DATA (REORDERED)
... % rest is the same

Novamente, usando dados reais, é provável que seu método se aproxime do IMC médio real, mas por que você usaria um método menos preciso?

Fora do escopo da pergunta: é sempre uma boa ideia visualizar seus dados para que você possa realmente ver as distribuições. Se você notar certos clusters, por exemplo, também pode considerar obter meios separados para esses clusters (por exemplo, separadamente para as primeiras 3 e as 3 últimas pessoas no meu exemplo)