Por que a distribuição marginal / probabilidade marginal é descrita como "marginal"?

Marginal geralmente se refere a algo que é um pequeno efeito, algo que está do lado de fora de um sistema maior. Tende a diminuir a importância do que quer que seja descrito como "marginal".

Então, como isso se aplica à probabilidade de um subconjunto de variáveis ​​aleatórias?

Supondo que as palavras sejam usadas por causa de seu significado pode ser uma proposição arriscada em matemática, então eu sei que não há necessariamente uma resposta aqui, mas às vezes a resposta a esse tipo de pergunta pode ajudá-lo a obter uma visão genuína, por isso que eu ' estou perguntando.

Considere a tabela abaixo (copiada deste site ) representando probabilidades conjuntas de resultados ao lançar dois dados:

Nesta maneira comum e natural de mostrar a distribuição, as probabilidades marginais dos resultados dos dados individuais são escritas literalmente nas margens da tabela (a linha / coluna destacada).

É claro que não podemos realmente construir essas tabelas para variáveis ​​aleatórias contínuas, mas, de qualquer maneira, acho que essa é a origem do termo.

Para adicionar à resposta de Jake Westfall ( /stats//q/408410 ), podemos considerar a densidade marginal como integrando a outra variável. Em detalhes, se tivermos $(X, Y)$ duas variáveis ​​aleatórias, a densidade de $X$ em $x$ é

$$p(x) = \int p(x, y)dy = \int p(x | y)p(y)dy,$$ que quando as variáveis ​​são discretas, por exemplo, se $X$ e $Y$ assumem apenas valores de $1, \dots, 6$ , encontrando a probabilidade de $$p(X = 1) = \sum_{y = 1}^6 p(X = 1, Y = y)$$ que é o mesmo que somar os elementos na primeira linha ( $i = 1$ ) de sua tabela.

Eu acho que é mais fácil ver isso em termos de um enredo. Abaixo está um gráfico da densidade da junta ao coletar amostras de uma mistura de dois gaussianos, a marginal de $X$ e $Y$ para o topo e para a direita, respectivamente

O mesmo gráfico com densidades suavizadas (você pode pensar nisso como o mesmo, mas com $X$ e $Y$ agora sendo contínuos; nesse caso, você ainda pode encontrar o marginal, mas usaremos uma integral em vez de somar)

Ambas as parcelas foram geradas usando a função jointplot de seaborn ( https://seaborn.pydata.org/generated/seaborn.jointplot.html#seaborn.jointplot ).

Espero que isto ajude!