Meça a uniformidade da distribuição dos pontos em um quadrado 2D

Eu tenho um quadrado 2D e tenho um conjunto de pontos dentro dele, digamos, 1000 pontos. Eu preciso de uma maneira de ver se a distribuição de pontos dentro do quadrado está espalhada (ou mais ou menos uniformemente distribuída) ou eles tendem a se reunir em algum ponto dentro do quadrado.

Eu preciso de uma maneira matemática / estatística (não de programação) para determinar isso. Pesquisei no Google, encontrei algo como boa forma, Kolmogorov, etc., e me pergunto se existem outras abordagens para conseguir isso. Precisa disso para o trabalho da turma.

Entradas: um quadrado 2D e 1000 pontos. Resultado: sim / não (sim = distribuído uniformemente, não = reunindo-se em alguns pontos).

— furgão
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Você não articulou o suficiente exatamente o que é "distribuído uniformemente" para você. Você quer dizer cubo uniforme 2D uniformemente lado a lado ou algo mais? Por exemplo, cadeia de pontos uniformemente espaçada? ou um círculo de pontos? Em certo sentido, esses números também são spreads uniformes.

— ttnphns

@ttnphns Nesse contexto, "uniforme" tem um significado convencional bem estabelecido. Corresponde a um processo de Poisson com intensidade constante. É conhecido como "CSR" completamente espacialmente aleatório .

— whuber

@ Van Você deseja pesquisar "processos de pontos espaciais". Boas palavras-chave incluem "função Ripley K", "CSR" e "Poisson". Uma referência acessível para você seria O'Sullivan & Unwin, Geographic Information Analysis. Um clássico é Ripley, Spatial Statistics : se concentra em processos pontuais. Para aplicativos, dê uma olhada rápida no CrimeStat . Se você estiver familiarizado R, há muitas ferramentas para esta tarefa .

— whuber

Respostas:

Acho que a ideia de @John de um teste chi = square é um caminho a percorrer.

$\frac{1000}{N}$

Mas é possível que um número diferente de células dê conclusões diferentes.

Outra possibilidade é calcular a distância média entre os pontos e depois compará-la com os resultados simulados dessa média. Isso evita o problema de um número arbitrário de células.

EDIT (mais na distância média)

$\frac{1000*999}{2}$

Em seguida, você pode gerar N (um grande número) de conjuntos de 1000 pontos distribuídos uniformemente. Cada um desses N conjuntos também tem uma distância média entre os pontos.

Compare os resultados dos pontos reais com os pontos simulados, para obter um valor-p ou apenas para ver onde eles caem.

— Peter Flom - Restabelece Monica
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Concordo que o qui-quadrado de uma amostra ("teste qui-quadrado de concordância") está entre as maneiras razoáveis. Mas você pode elaborar mais sobre sua proposta de "distância média"? Eu não entendi direito.

— ttnphns

@ttnphns, aqueles usados na análise espacial são o teste de vizinho mais próximo (também conhecido como teste de Clark e Evans) ou o K. de Ripley. Veja a biblioteca R do spatstat ou a documentação do CrimeStat para obter exemplos. Outra possibilidade baseada na simulação são os testes de "varredura", mas eles não são baseados em distâncias médias.

— Andy W

Outra possibilidade é um teste Qui-quadrado. Divida o quadrado em patches não sobrepostos de tamanho igual e teste as contagens dos pontos que caem nos patches contra as contagens esperadas sob uma hipótese de uniformidade (a expectativa de um patch é total_points / total_patches se todos tiverem o mesmo tamanho) e aplique o teste do qui-quadrado. Para 1000 pontos, 9 patches devem ser suficientes, mas convém usar mais granularidade, dependendo da aparência dos seus dados.

— Ben Allison
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Eu acho que você gosta de algo, mas uma boa adequação do qui-quadrado comparando as contagens reais em cada célula com uma contagem esperada de células iguais seria o que você gostaria. O uso de um teste de contingência NÃO testaria se havia distribuição uniforme entre suas células, apenas se a linha dependesse da coluna.

— John

Além disso, o teste do qui-quadrado informaria apenas se eles não fossem uniformes nas células selecionadas. Não diria se eram uniformes.

— John

Sim, eu quis dizer as contagens contra as contagens esperadas sob uma hipótese nula de uniformidade, minhas desculpas se não estivesse claro. Você pode apenas visualizá-lo como uma tabela que ajuda a entender o que está acontecendo para os não iniciados! E, obviamente, você está limitado a testar contra as células que você selecionar, em vez de uniformidade no sentido abstrato

— Ben Allison

@ John, normalmente quando se faz esse "teste de dispersão", normalmente se faz um teste de duas faces. Se você realmente queria ver se o padrão era mais uniforme do que o esperado por acaso, basta olhar para ver se o teste do qui-quadrado caiu na cauda esquerda da distribuição (no ponto de corte que você preferir).

— Andy W

Andy, você deve fornecer uma resposta que detalha esse teste de qualidade do ajuste bilateral. Normalmente, os testes frente e verso apenas testam duas alternativas diferentes para nulo, mas ainda não conseguem demonstrar o nulo. Sua proposta é intrigante.

— John

Por que não usar o teste Kolmogorov-Smirnov? É o que eu faria, especialmente considerando que o tamanho da sua amostra é grande o suficiente para compensar a falta de energia.

Como alternativa, você pode fazer alguma simulação. Não é rigoroso, mas fornece algumas evidências sobre se os dados são distribuídos uniformemente.

@whuber A extensão bidimensional do KS é bem conhecida (veja aqui ). Nesse caso, estamos investigando se esses 1000 desenhos (coordenadas (x, y)) podem ser extraídos da distribuição uniforme em duas dimensões - pelo menos é assim que eu leio "uniformemente espalhado". @ John, eu poderia ter me expressado desajeitadamente (nem matemática nem inglês são meus primeiros idiomas). O que eu quis dizer foi que o valor p exato pode ser calculado usando um teste como o KS, enquanto o valor p (ou o que você chama de equivalente) só tende assintoticamente ao fazer simulações.

— abaumann
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Por que a simulação não seria rigorosa?

— John

Você poderia explicar como o teste KS - destinado a conjuntos de números reais que se supõe serem os resultados de uma variável aleatória contínua - seria aplicado a esse conjunto de dados espaciais ?

— whuber

Editei minha resposta para tentar fornecer respostas para sua resposta. Melhor.

— abaumann

@ John Eu tentei explicar o que eu quis dizer. Melhor.

— abaumann